Тип 19 № 22747

Решение:

Преобразуем исходное уравнение: $$(x^5)^2 + x^2 = -(a - 2|x|)^5 - (a - 2|x|) \Leftrightarrow (x^5)^2 + x^2 = (2|x| - a)^5 + 2|x| - a$$

Пусть $f(t) = t^5 + t$. Оценим её на монотонность:

$$f'(t) = 5t^4 + 1$$

Производная функции строго положительна при любом значении $t$, значит функция $f(t)$ -- монотонно возрастающая функция.

Запишем исходное уравнение в виде: $$f(x^2) = f(2|x| - a)$$

Так как функция $f$ монотонно возрастающая, уравнение равносильно: $$x^2 = 2|x| - a \Leftrightarrow a = 2|x| - x^2$$

Сделаем замену $m = |x|$. Проведём анализ замены:

$m > 0$ даст нам ровно 2 различных значения $x$.

$m = 0$ даст нам ровно 1 значение $x = 0$.

$m < 0$ не даёт ни одно решение.

Значит, чтобы исходное уравнение имело более трёх различных решений, уравнение $a = 2m - m^2$ должно иметь ровно 2 положительных корня.

$$g(m) = m^2 -2m + a = 0$$

Запишем необходимые условия: $$\begin{cases} D > 0\\ x_{\text{в}} > 0\\ g(0) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4 - 4\cdot a > 0 \\ 2 > 0\\ a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 1 \\a > 0 \end{cases}$$

$$a \in (0; 1)$$

Ответ: $(0; 1)$