Разные города

В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, AB = 10, $AC = \sqrt{91}$. Найдите $\sin A$.

Даны векторы $\vec a(-4; 0)$, $\vec b(-4; 3)$ и $\vec с(-8; 2)$ Найдите длину вектора $\vec a -6\vec b + \vec c$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ известно, что $BC = 9$, $CD = 3$, $CC1 = 7$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, D, C1$.

В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 6 из Венгрии, 7 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Болгарии.

Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4».

Найдите корень уравнения $(x + 9)^3 = -216$

Найдите значение выражения $21\sqrt6\cdot \tg \frac{\pi}{6}\cdot\sin\frac{\pi}{4}$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 149 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением $$v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$$

где $c = 1500 \, \text{м}/\text{с}$ – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемого сигнала (в МГц), $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 10 м/с.

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = \frac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку минимума функции $y=x^{\frac{3}{2}}-21x+5$.

а) Решите уравнение: $\sin 2x + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Источник: Банк ЕГЭ

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является ромб $ABCD$ , $AB=AA1$.

а) Докажите, что прямые $A1C$ и $BD$ перпендикулярны.

б) Найдите объём призмы, если $A1C=BD=2$.

Решите неравенство $\frac{1}{\log_3x + 4} + \frac{2}{\log_3(3x)}\cdot \left(\frac{2}{\log_3x + 4} - 1\right) \leq 0$

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере $S$ тыс.рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $30\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным $S$ тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс.рублей;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC1 и медиана $AA_1$, причем точки $A$, $C$, $A1$ и $ C1$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1 : CC_1$ = $3:2$ и $A_1C_1=2$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$|\sin^2x + 2\cos x + a| = \sin^2x + \cos x - a$$

имеет на промежутке $\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ единственный корень.