Тип 18 № 21045

Решение:

а)Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$. Угол $CC_1A$ по условию прямой ($CC_1$ высота), следовательно он опирается на диаметр окружности $AC$.

Тогда угол $AA_1C$ также является прямым, так как опирается на диаметр окружности $AC$. Значит, $AA_1$ является медианой и высотой в треугольнике $ABC \Rightarrow AB = AC \Rightarrow $ треугольник $ABC$ является равнобедренным.
\end{proof}

б) Рассмотрим треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$. Они подобны по двум углам: $\angle CBA $ -- общий, $\angle AA_1B = \angle CC_1B$. Составим пропорции: $$\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{2}$$

Рассмотрим треугольник $CC1B$. Точка $A_1$ -- серидина гипотенузы $BC$. Значит, $C_1A_1$ -- медиана, проведённая из вершины прямого угла. Тогда: $$A_1C_1 = \frac{1}{2}BC \Rightarrow 2C_1A_1 = BC = 4$$ $$\frac{AB}{BC} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow AB = \frac{3\cdot BC}{2} = 6$$

Найдём площадь треугольника $ABC$ по формуле: $S_{ABC} = \frac{AA_1\cdot BC}{2}$

Найдём $AA_1$ из прямоугольного треугольника $AA_1B$: $$AA_1 = \sqrt{(BA)^2 - (BA_1)^2} = \sqrt{36 - 4} = 4\sqrt{2}$$

Подставляем: $$S_{ABC} = \frac{4\sqrt{2}\cdot4}{2} = 8\sqrt{2}$$

Ответ: $8\sqrt{2}$