Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$. Оказалось, что точки $A$,$A_1$,$C$,$C_1$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AA_1 : CC_1 = 4:3$ и $A_1C_1=6$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$. На катете $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении катета $BC$ за точку $C$ - точка $N$ так, что $CM = CB$ и $CA = CN$.

а) Пусть $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ABC$ и $NMC$ соответственно. Докажите, что $CF$ и $CH$ перпендикулярны.

б) Пусть $L$ - это точка пересечения $BM$ и $AN$, $BC = 2$, $AC = 5$. Найдите $ML$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$ , а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ , причём $CM=BC$ и $CN=AC$ . Отрезки $CP$ и $CQ$ - биссектрисы треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно.

а) Докажите, что $CP$ и $CQ$ перпендикулярны.

б) Найдите PQ , если $BC=3$ , а $AC=5$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.

а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ лежит на катете $AC$, а точка $N$ лежит на продолжении катета $BC$ за точку $C$ причем $CM=BC$ и $CN=AC$.

а) Отрезки $CH$ и $CF$ - высоты треугольников $ACB$ и $NCM$ соответственно. Докажите, что прямые $CH$ и $CF$ перпендикулярны.

б) Прямые $BM$ и $AN$ пересекаются в точке $L$. Найдите $LM$ если $BC=4$, а $AC=8$.

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$.

На стороне острого угла с вершиной $A$ отмечена точка $B$. Из точки $B$ на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры $BC$ и $BD$ соответственно.

а) Докажите, что $AC^2 + CD^2=AD^2+DB^2$.

б) Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $T$. Найдите отношение $AT:TC$, если $\cos \angle ABC = \cfrac{3}{8}$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна, Центр, Москва, Санкт-Петербург

В остроугольном треугольнике ABC проведены высота CC1 и медиана $AA_1$, причем точки $A$, $C$, $A1$ и $ C1$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1 : CC_1$ = $3:2$ и $A_1C_1=2$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$, угол $ACB$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BM$. В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ$. Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$, если $AB = 10$.