Тип 15 № 21042

Решение:

а) Так как диагонали ромба перпендикулярны: $AC \perp BD$. Из условия: $AA_1 \perp $ плоскости $ABC$.

Тогда AC - проекция A1C на плоскость $ABC$. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах $A_1C \perp BD$ .

б) Обозначим $AA_1 = AB = a$, a $O$ --- центр ромба $ABCD$.

Из прямоугольного треугольника $ AOB $ по теореме пифагора найдём:

$$AO^2 = AB^2 - BO^2 = a^2 - 1,$$

Значит, $\frac{AC}{2} = AO = \sqrt{a^2 - 1}$.

Из прямоугольного треугольника $CAA_1$ по теореме пифагора найдём:

$$A_1C^2 = AA_1^2 + AC^2 \Leftrightarrow 4 =a^2 + 4\sqrt{a^2 + 1}$$

Отсюда $a = \sqrt{\frac{8}{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$. Следовательно,

$$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = S_{ABCD} \cdot AA_1 = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot AA_1 =$$ $$= \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{a^2 - 1} \cdot 2 \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{\frac{8}{5} - 1} \cdot 2 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{5}.$$

Ответ: $\frac{4\sqrt{6}}{5}$