Стереометрическая задача

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ на рёбрах $AC$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $$AM : MC = CN : NB = 2 : 1.$$

а)Докажите, что плоскость $MNB_1$ проходит через середину ребра $A_1C_1$.

б)Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $MNB_1$, если $AB = 6$, $AA_1 = \sqrt{3}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Дана треугольная пирамида $SABC$. Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника ABC.

а) Докажите, что $SA^2 - SB^2=AC^2 -BC^2$.

б) Найдите объём пирамиды $SABC$, если $AB=25$, $BC=20$, $AC=5\sqrt3$, $SC=5\sqrt{10}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=$5\sqrt{2}$

а) Докажите, что BD=CD.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки E и F соответственно, причём DE:EA=DF:FC=2:3. Найдите площадь сечения EFB.

Источник: Демоверсия ЕГЭ-2024

В правильной шестиугольной пирамиде GABCDEF сторона основания BC=4, а боковое ребро GB=7. Точка H лежит на ребре CD, причем CH=1, точка I лежит на ребре GD, причем GI=4.

а) Докажите, что плоскость HIE перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите объем пирамиды DEIH.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN  — квадрат, и AK:KC=3:7.

а) Докажите, что AB:CD=3:7.

б) Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основанием высоты $SO$ этой пирамиды является середина ребра $AB$.

a) Докажите, что $SA=SC$.

б) Найдите угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$, если $AC=16$, $AB=20$, $SA=26$.

Источник: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Дан тетраэдр $ABCD$. На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK : KC = 3:7$. Также на рёбрах $AD$, $BD$ и $BC$ выбраны точки $L$, $M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ — квадрат со стороной $3$

а) Докажите, что рёбра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Дана пирамида ABCD, в которой AD=AC=BC=BD=$\sqrt{17}$, AB=CD=$2\sqrt{5}$.

а) Докажите, что ребро AB перпендикулярно ребру CD.

б) Найдите расстояние между ребрами CD и AB.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

В основании четырёхугольной пирамиды $MABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 4$, $AD = 15$. При этом известны длины некоторых боковых рёбер: $MA = \sqrt{26}$, $MB = \sqrt{10}$, $MC = \sqrt{235}$.

а)Докажите, что $MB$ — высота пирамиды $MABCD$.

б) Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABM$.

Источник: Банк ЕГЭ

В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Точка $M$ — середина ребра $AC$, а точка $K$ — середина ребра $A_1 B_1$.

а) Докажите, что прямая $K M$ перпендикулярна прямой $AC$.

б) Найдите угол между прямой $K M$ и плоскостью $A B B_1$, если $AB = 8$, $AC = 12$ и $A A_1 = 5$.

Источник: Основная волна 2019

В треугольной пирамиде $SABC$ точка $E$ — середина ребра $SA$, точка $F$ — середина ребра $SB$, $O$ — точка пересечения медиан в $\triangle ABC$.

a) Докажите, что плоскость $CEF$ делит отрезок $SO$ в отношении $3:2$, считая от точки $S$.

б) Найдите косинус угла между плоскостями $CEF$ и $EHF$, если $H$ — середина ребра $SC$, пирамида $SABC$ — правильная, $S_{\triangle ABC} = 27\sqrt{3}$, $SB = 10$.

Источник: Банк ЕГЭ

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M = 2AM$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $20$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ известно, что $AB = 4$. Через точку $O$ — пересечения диагоналей основания — перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б)В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $2\sqrt{14}$?

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Дана правильная треугольная призма $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$, точка $M$ — середина ребра $CC_{1}$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_{1}$, $A$ и $M$.

а)Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $18$ и $AB = 4$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Дана правильная треугольная призма $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$, точка $M$ — середина ребра $CC_{1}$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_{1}$, $A$ и $M$.

а)Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б)Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $6$ и $AB = 2$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ является квадрат $ABCD$ со стороной $3\sqrt{2}$, высота призмы равна $2\sqrt{7}$. Точка $K$ — середина ребра $BB_{1}$. Через точки $K$ и $C_{1}$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_{1}$.

а)Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Источник: ЕГЭ 2025, досрочная волна

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно.

а)Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD$.

б)Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 5$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 24$ и $BC = 4\sqrt{2}$. Длины боковых рёбер пирамиды: $$SA = 7,\quad SB = 25,\quad SD = 9.$$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=\sqrt{5}$ и $BC=2$. Длины боковых рёбер пирамиды: $$SA=\sqrt{7},\qquad SB=2\sqrt{3},\qquad SD=\sqrt{11}.$$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

Источник: БАНКЕГЭ

В тетраэдре $ABCD$ ребро $AD = 4$, а все остальные рёбра равны $7$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AD$ и $BC$.

Источник: Пробный вариант ЕГЭ-2021

В прямоугольном параллелепипеде $ACBDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ известно, что $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_{1} = 6$. Через точки $B_{1}$ и $D$ параллельно $AC$ проведена плоскость, пересекающая ребро $CC_{1}$ в точке $K$.

а) Докажите, что $K$ — середина $CC_{1}$.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости сечения.

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

В основании прямой призмы $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_{1}C_{1}$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $$AB = AA_{1},\qquad AB : BC = 2 : 7.$$

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ является прямоугольный треугольник $ABC$, причём $\angle C = 90^\circ$. Диагонали боковых граней $AA_{1}B_{1}B$ и $BB_{1}C_{1}C$ равны $26$ и $10$ соответственно, $AB = 25$.

а) Докажите, что $\triangle BA_{1}C_{1}$ — прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды $AA_{1}C_{1}B$.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, в которой $AB = 6$ и $AA_1 = 3$. Точки $O$ и $O_1$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$ такая, что $CM = 1$.

a) Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.

б) Найдите объём пирамиды $ABMC_1$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $AD$.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ — квадрат.

б)Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB = 2\sqrt{3}$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Основанием прямой треугольной призмы $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$ является прямоугольный треугольник $ABC$, причем $\angle C = 90^\circ$. Диагонали боковых граней $AA_{1}B_{1}B$ и $BB_{1}C_{1}C$ равны соответственно $26$ и $10$, $AB = 25$.

а)Докажите, что $\triangle B A_{1} C_{1}$ — прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $A A_{1} C_{1} B$.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

В правильной четырёхугольной пирамиды $PABCD$ сторона основания $ABCD = 12$, а боковое ребро $PA = 12\sqrt{2}$. Через вершину $A$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $PC$ и пересекающая ребро $PC$ в точке $K$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит высоту $PH$ пирамиды $PABCD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $P$.

б) Найдите расстояние между прямыми $PH$ и $BK$.

Источник: Пробный вариант ЕГЭ-2018

В основании пирамиды $PABCD$ лежит трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD=60^\circ$, $\angle CDA=30^\circ$. Боковые грани $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны основанию пирамиды.

a) Доказать, что плоскости $(PAB)$ и $(PCD)$ перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми $PB$ и $CD$, если известно, что $BC=6$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $4$.

Источник: БАНКЕГЭ