Стереометрическая задача

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с вершиной $S$ боковое ребро $SD=5$, а высота пирамиды равна $\sqrt{15}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$ соответственно. В пирамиде $NSCD$ точка $N$ является вершиной, а $NT$ — высотой пирамиды.

а) Доказать, что точка $T$ является серединой $SM$.

б) Найти расстояние между прямыми $NT$ и $SC$.

Источник: БАНК ЕГЭ

Дан тетраэдр $ABCD$. На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK:KC=3:7$. Также на рёбрах $AD,\,BD$ и $BC$ выбраны точки $L,\,M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ — квадрат со стороной $2$.

а) Доказать, что $BM:MD=3:7$.

б) Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$, если известно, что объём пирамиды $CKLM$ равен $50$.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Дана прямая призма $ABC A_1B_1C_1$. Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$. На отрезке $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная $PQ$.

a) Доказать, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найти отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\tfrac{3}{5}$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Все рёбра правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ имеют длину $6$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA_1$ и $A_1C_1$ соответственно.

а) Доказать, что прямые $BM$ и $MN$ перпендикулярны.

б) Найти угол между плоскостями $BMN$ и $ABB_1$.

Источник:Демонстрационная версия ЕГЭ 2016-2023

В пирамиде $SABC$ известны длины рёбер: $$AB=AC=\sqrt{29},\qquad BC=SA=2\sqrt{5},\qquad SB=SC=\sqrt{13}.$$ а) Доказать, что прямая $SA$ перпендикулярна прямой $BC$.

б) Найти угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=4$, а боковое ребро $SA=7$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=SK=1$.

а) Доказать, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найти объём пирамиды $BCKM$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $3\sqrt{2}$, высота призмы равна $2\sqrt{7}$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.

а) Доказать, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренный треугольник.

б) Найти периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Источник: ЕГЭ 2017, досрочная волна

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. На прямой $AA_1$ отмечена точка $G$ так, что $A_1$ — середина $AG$. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $I$ так, что $C_1$ — середина $B_1I$.

а) Докажите, что прямые $A_1B_1$ и $GI$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $GI$, если $AB = 4$, а $AA_1 = 1$.

Источник: БАНКЕГЭ

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. На прямой $AA_1$ выбрана точка $G$ так, что $A_1$ является серединой отрезка $AG$. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $F$ таким образом, что $C_1$ — середина $B_1F$.

а) Доказать, что прямые $A_1B_1$ и $GF$ взаимно перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми $AB$ и $GF$, если $AB = 3$ и $AA_1 = 1$.

Источник:БАНКЕГЭ

В правильной треугольной пирамиде $A B D C$ сторона основания $C B = 5$, а боковое ребро $A B = 3$. На рёбрах $C B$ и $A D$ отмечены точки $W$ и $M$ соответственно, причём $$B W : W C = B M : M D = 1 : 4.$$ Плоскость $\alpha$ содержит прямую $W M$ и параллельна $A B$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $B D$ в отношении $1 : 4$, считая от вершины $B$.

б) Найдите расстояние между прямыми $A B$ и $W M$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

В кубе $A B C D A_1 B_1 C_1 D_1$ точки $M$ и $N$ являются серединами рёбер $A B$ и $A D$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $B_1 N$ и $C M$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$, причём она параллельна прямой $C M$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если известно, что $B_1 N = 6$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания $ABCD$, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC = 2:1$, $AB = 6$ и $SO = 3\sqrt7$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б)Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L, M$ и $N$ соответственно. Известно, что $$AM:MB = BL:LC = AN:ND = 1:4.$$

a) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L, M$ и $N$, делит ребро $CD$ в отношении $4:1$, считая от вершины $C$.

б)Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=10$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $$AM:MB = BL:LC = AN:ND = 1:2.$$

a) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$ и $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно $\sqrt{3}$, а сторона основания равна $2$. Через точку $A_1$, перпендикулярно плоскости $AB_1D_1$, проведена прямая $l$.

а)Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении $3:1$.

б)Найдите угол между прямыми $l$ и $CB_1$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 35

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$, сторона основания $AB = 16$, высота $SH = 10$, точка $K$ — середина $AS$. Плоскость, проходящая через точку $K$ и параллельная основанию пирамиды, пересекает рёбра $SB$ и $SC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

а)Докажите, что площадь $PQBC$ относится к площади $BSC$ как $3 : 4$.

б)Найдите объём пирамиды $KBQPC$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ относится к боковому ребру как $1 : \sqrt{2}$. Через вершину $D$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная боковому ребру $SB$ и пересекающая его в точке $M$.

а) Докажите, что $M$ — середина $SB$.

б) Найдите расстояние между прямыми $AC$ и $DM$, если высота пирамиды равна $6\sqrt{3}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 27

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ относится к боковому ребру как $1 : \sqrt{2}$. Через вершину $D$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная боковому ребру $SB$ и пересекающая его в точке $M$.

а)Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б)Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно $6$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $\sqrt{13}$ и стороной основания $6$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

а)Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар пересекаются более чем в одной точке.

б)Найдите площадь сечения шара плоскостью $\alpha$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота $AA_1$ равна $3\sqrt{5}$, $BC = CD = 6$, а четырёхугольник $ABDE$ — прямоугольник со сторонами $AB = 5$, $AE = 4\sqrt{5}$.

а)Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.

б)Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.

а)Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.

б)Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD = 9$, $BC = 7$, $SO = 6$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Основанием четырёхугольной призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD = 90^\circ$, а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b$.

а)Докажите, что если $c = 4b$, то объёмы многогранников, на которые призму $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ делит плоскость $(CDA_1)$, относятся как $3 : 2$.

б)Объёмы многогранников $DA_1 D_1 C B_1 C_1$ и $ADA_1 B C B_1$, на которые призму $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ делит плоскость $(CDA_1)$, соответственно равны $30$ и $20$. Найдите высоту призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, если $CD = 5$, $AD = 4$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, при этом ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер $BC$ и $CD$ параллельно прямой $SC$ проведена плоскость $\alpha$.

а)Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $SA$ делит его в отношении $1 : 3$, считая от вершины $S$.

б)Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB = 4$, $SA = 3\sqrt{2}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

В правильной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно $2$, а сторона основания равна $\sqrt{6}$. Через точку $A_1$, перпендикулярно плоскости $(AB_1D_1)$, проведена прямая $l$.

а)Докажите, что прямая $l$ пересекает отрезок $AC$ и делит его в отношении $2:1$.

б)Найдите угол между прямыми $l$ и $CD_1$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 36

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD : DC = 1 : 2$, $SE : EB = 1 : 2$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF = FC$.

а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.

б) Найдите отношение $AP : PS$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 1

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD : DC = SE : EB = 1 : 3$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $CF = 2FB$.

а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.

б)Найдите отношение $AP : AS$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 2

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, при этом $AP = 1{,}3AB$. Через точку $A$ перпендикулярно апофеме грани $BCP$ проведена плоскость $\alpha$.

а)Докажите, что плоскость $\alpha$ делит апофему грани $BCP$ в отношении $119 : 25$, считая от точки $P$.

б)Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 13

На рёбрах $AB$ и $B_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT : TB = 2 : 1$ и $B_1K = KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TB_1$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ является серединой отрезка $AT$.

б)Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB = 42$, $AA_1 = 3\sqrt{7}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основание $ABCD$ является прямоугольником со сторонами $6$ и $8$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Плоскость, содержащая диагональ $AC$ и параллельная прямой $B_1D$, пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Угол между плоскостями $ABC$ и $ACK$ равен $45^\circ$.

a)Докажите, что угол $KOB$ меньше $45^\circ$.

б)Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

На ребре $A_1A$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ так, что $$A_1E : EA = 3 : 2,$$ точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Длины рёбер $AD$ и $AA_1$ равны $6$ и $10$ соответственно.

a) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $ETD_1$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $ETD_1$, если $AB = 2\sqrt{10}$.