Тип 15 № 18142

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точка $E$ на $A_1A$: $A_1E : EA = 3 : 2$.

$T$ — середина $B_1C_1$.

Длины: $AD = 6$, $AA_1 = 10$, $AB = 2\sqrt{10}$.

1. []a) Доказательство, что сечение $ETD_1$ — равнобедренная трапеция:

2. Построение: Продлим $D_1T$ до $K$ на $A_1B_1$. Проведём $EK \to$ точка $F$ на $BB_1$. Сечение — $EFTD_1$.

3. Параллельность: $FT \parallel ED_1$ (через параллельные плоскости). Значит, $EFTD_1$ — трапеция.

4. Равные стороны: $\triangle D_1C_1T = \triangle KB_1T \to KB_1 = 2\sqrt{10}$. $B_1F = 3$ (средняя линия). Из равенства треугольников: $$EF = TD_1 = 7.$$

5. []б) Площадь сечения:

6. Длины: $$EF = TD_1 = 7,$$ $$ED_1 = 6\sqrt{2},$$ $$FT = 3\sqrt{2}.$$

7. Высота: $$h = \sqrt{7^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{89}{2}}.$$

8. Площадь: $$S = \frac{6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{89}{2}} = \frac{9\sqrt{89}}{2}.$$

Ответ:

а) Сечение $EFTD_1$ — равнобедренная трапеция.

б) Площадь сечения: $$\frac{9\sqrt{89}}{2}.$$