Площади сечения

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ на рёбрах $AC$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно так, что $$AM : MC = CN : NB = 2 : 1.$$

а)Докажите, что плоскость $MNB_1$ проходит через середину ребра $A_1C_1$.

б)Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $MNB_1$, если $AB = 6$, $AA_1 = \sqrt{3}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB=BC=AC=$5\sqrt{2}$

а) Докажите, что BD=CD.

б) На рёбрах DA и DC отмечены точки E и F соответственно, причём DE:EA=DF:FC=2:3. Найдите площадь сечения EFB.

Источник: Демоверсия ЕГЭ-2024

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M = 2AM$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $20$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ известно, что $AB = 4$. Через точку $O$ — пересечения диагоналей основания — перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б)В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $2\sqrt{14}$?

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Дана правильная треугольная призма $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$, точка $M$ — середина ребра $CC_{1}$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_{1}$, $A$ и $M$.

а)Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $18$ и $AB = 4$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Дана правильная треугольная призма $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$, точка $M$ — середина ребра $CC_{1}$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_{1}$, $A$ и $M$.

а)Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.

б)Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $6$ и $AB = 2$.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ является квадрат $ABCD$ со стороной $3\sqrt{2}$, высота призмы равна $2\sqrt{7}$. Точка $K$ — середина ребра $BB_{1}$. Через точки $K$ и $C_{1}$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_{1}$.

а)Докажите, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренный треугольник.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Источник: ЕГЭ 2025, досрочная волна

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно.

а)Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD$.

б)Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 5$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна ребрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $K$ и $M$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $AD$.

а) Докажите, что сечение тетраэдра плоскостью $\alpha$ — квадрат.

б)Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB = 2\sqrt{3}$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

Основанием прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $3\sqrt{2}$, высота призмы равна $2\sqrt{7}$. Точка $K$ — середина ребра $BB_1$. Через точки $K$ и $C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BD_1$.

а) Доказать, что сечением призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренный треугольник.

б) Найти периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $\alpha$.

Источник: ЕГЭ 2017, досрочная волна

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L, M$ и $N$ соответственно. Известно, что $$AM:MB = BL:LC = AN:ND = 1:4.$$

a) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L, M$ и $N$, делит ребро $CD$ в отношении $4:1$, считая от вершины $C$.

б)Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=10$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $$AM:MB = BL:LC = AN:ND = 1:2.$$

a) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$ и $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ относится к боковому ребру как $1 : \sqrt{2}$. Через вершину $D$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная боковому ребру $SB$ и пересекающая его в точке $M$.

а)Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ — это четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны.

б)Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно $6$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 28

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $\sqrt{13}$ и стороной основания $6$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.

а)Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар пересекаются более чем в одной точке.

б)Найдите площадь сечения шара плоскостью $\alpha$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.

а)Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.

б)Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD = 9$, $BC = 7$, $SO = 6$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 21

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, при этом ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер $BC$ и $CD$ параллельно прямой $SC$ проведена плоскость $\alpha$.

а)Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $SA$ делит его в отношении $1 : 3$, считая от вершины $S$.

б)Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB = 4$, $SA = 3\sqrt{2}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 17

На рёбрах $AB$ и $B_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT : TB = 2 : 1$ и $B_1K = KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TB_1$ проведена плоскость $\alpha$.

а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ является серединой отрезка $AT$.

б)Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB = 42$, $AA_1 = 3\sqrt{7}$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 15

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ основание $ABCD$ является прямоугольником со сторонами $6$ и $8$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Плоскость, содержащая диагональ $AC$ и параллельная прямой $B_1D$, пересекает ребро $BB_1$ в точке $K$. Угол между плоскостями $ABC$ и $ACK$ равен $45^\circ$.

a)Докажите, что угол $KOB$ меньше $45^\circ$.

б)Найдите объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

На ребре $A_1A$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отмечена точка $E$ так, что $$A_1E : EA = 3 : 2,$$ точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Длины рёбер $AD$ и $AA_1$ равны $6$ и $10$ соответственно.

a) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью $ETD_1$ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $ETD_1$, если $AB = 2\sqrt{10}$.

Длины рёбер $AB$, $AA_1$ и $AD$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равны соответственно $12$, $16$ и $15$.

a) Докажите, что объём пирамиды $A_1BDC_1$ втрое меньше объёма параллелепипеда.

б) Найдите расстояние от вершины $A_1$ до прямой $BD_1$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны рёбра $$AB = 8,\qquad AD = 7,\qquad AA_1 = 5.$$ Точка $W$ принадлежит ребру $DD_1$ и делит его в отношении $1:4$, считая от вершины $D$.

a) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $C$, $W$ и $A_1$, — параллелограмм.

б) Найдите площадь этого сечения.

Точка $M$ лежит на ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD$, причем $AM:MB=1:2.$

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и середины ребер $BC$ и $AD$.

б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $CD$?

В правильной треугольной призме сторона $AB$ основания равна 2, точка $M$— середина ребра $CC1$.

а) Докажите, что сечение $A1MB$ — равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки M и K на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $2AM = MA_1, A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны 20.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $ AB = 4$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $2\sqrt{14}$?

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{3}$?

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 2$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\sqrt3$?