Тип 15 № 22775

Решение:

а)

Так как призма правильная, то $A_1B_1C_1$ — равносторонний треугольник. Следовательно, медиана $C_1K$ является также и высотой треугольника $A_1B_1C_1$. Отсюда $KC_1 \perp A_1B_1$.

Также, так как призма правильная, то $KC_1 \perp AA_1$.

Получили, что $KC_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости $(ABB_1)$, следовательно $KC_1 \perp (ABB_1)$.

Так как $\alpha \perp (ABB_1)$, $K \in \alpha$ и $KC_1 \perp (ABB_1)$, то $KC_1 \subset \alpha$. Что и требовалось доказать.

б) Выше мы доказали, что $KC_1 \perp (ABB_1)$. Но тогда $KC_1 \perp MK$, следовательно, $MKC_1$ — прямоугольный треугольник и его площадь можно найти по формуле: $$S = \frac12 MK \cdot C_1K.$$

Так как все рёбра призмы равны $20$, то $A_1K = KB_1 = 10$.

Далее, из того, что $2AM = MA_1$, получаем: $$AM = \frac{20}{3}, \qquad MA_1 = \frac{40}{3}.$$

Тогда по теореме Пифагора для $\triangle A_1 M K$: $$MK^2 = A_1M^2 + A_1K^2,$$ $$MK^2 = \left(\frac{40}{3}\right)^2 + 10^2 = \frac{1600}{9} + 100 = \frac{1600}{9} + \frac{900}{9} = \frac{2500}{9},$$ $$MK = \frac{50}{3}.$$

По теореме Пифагора для $\triangle A_1C_1K$: $$C_1K^2 = C_1A_1^2 - A_1K^2,$$ $$C_1K^2 = 20^2 - 10^2 = 400 - 100 = 300,$$ $$C_1K = 10\sqrt{3}.$$

Тогда искомая площадь равна: $$S = \frac12 MK \cdot C_1K = \frac12 \cdot \frac{50}{3} \cdot 10\sqrt{3} = \frac{250\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: б) $\dfrac{250\sqrt{3}}{3}$.