Тип 15 № 18284

Построим сечение. Для этого проведем луч $MR$ и луч $CA$ и найдем точку их пересечения — $S$.

Через данную точку и точку $Q$ проведем луч $SQ$ — он принадлежит плоскости $ADC$. Этот луч пересечет отрезок $DC$ — назовем эту точку $T$.

Образовался четырехугольник сечения — $MQTR$.

Определим отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $SC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая: $$\frac{CR}{RB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$

$$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$

Откуда $$\frac{AS}{SC}=\frac{1}{2}$$

То есть $A$ — середина $SC$.

Теперь найдем отношение, в котором точка $T$ делит отрезок $DC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости $ADC$:

$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{CS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QD}=1$$

$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$$

$$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}.$$