Тип 15 № 22804

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $SBC$. Проведём высоту $BM$ к стороне $SC$. Так как пирамида правильная, треугольники $SDC$ и $SBC$ равны. Тогда $DM$ -- также является высотой в треугольнике $SDC$.

Из всего вышесказанного следует, что прямая $SC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $BM$, лежащим в плоскости $BDM$, а значит $SC$ перпендикулярная плоскости $BDM$. Значит, плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью $BDM$.

б) Рассмотрим треугольник $BMD$. Он равнобедренный, так как $DM = MB$ как соответствующие элементы равных фигур. $MO$ — высота и медиана этого треугольника.

Выразим высоту $MO$ из площади треугольника $MBD$:

$$S_{MBD} = 2\sqrt{14} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MO.$$

Диагональ основания $BD = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. Тогда:

$$2\sqrt{14} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot MO \quad\Rightarrow\quad 2\sqrt{14} = 2\sqrt{2} \cdot MO \quad\Rightarrow\quad MO = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}} = \sqrt{7}.$$

Половина диагонали основания равна $OC = \frac{BD}{2} = 2\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника $MOC$:

$$MC^2 = OC^2 - MO^2 = (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{7})^2 = 8 - 7 = 1,$$ $$MC = 1.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOC$. В нём $OM \perp SC , значит, $OM$ — высота к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника:

$$OC^2 = MC \cdot SC.$$

Подставим известные значения:

$$(2\sqrt{2})^2 = 1 \cdot SC \quad\Rightarrow\quad 8 = SC \quad\Rightarrow\quad SC = 8.$$

Тогда:

$$SM = SC - MC = 8 - 1 = 7.$$

Следовательно:

$$\frac{SM}{MC} = \frac{7}{1}.$$

Ответ: $7:1$.