Сибирь

Острый угол В прямоугольного треугольника равен $66^\circ$. Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CM$, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a =(3; -2)$, $\vec b =(0; 1)$. Найдите скалярное произведение $\vec a\cdot\vec b$.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $7\sqrt2$ Найдите радиус сферы.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

Источник: ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна.

Найдите корень уравнения $\left(\frac{1}{5}\right)^{4-x} = 5$

Найдите значение выражения $\frac{\log_325}{\log_35}$

На рисунке изображен график функции $f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $ a = 5000 , \text{км/ч}^2 $. Скорость $ v $ (в км/ч) вычисляется по формуле $ v = \sqrt{2la} $, где $ l $ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $ 100 , \text{км/ч} $.

Два велосипедиста одновременно отправились в $240$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $1$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $1$ час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

Источник: БАНК ФИПИ.

На рисунке изображены графики функций $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $g(x) = kx + d$ которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку максимума функции $y= x^3 -3x^2 + 2$.

а) Решите уравнение: $2\cos (2\pi + 2x) - 2 + \sqrt8\sin x = -\sqrt6 + \sqrt{12}\sin x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$.

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Решите неравенство $\frac{27^{x + 1} -3\cdot9^{x + 1} +3^{x + 2} - 1}{50x^2 +50x + 12,5} \geq 0$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ миллионов рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

— 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на $1\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— с 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A$, если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тысяч рублей?

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$, угол $ACB$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BM$. В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ$. Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$, если $AB = 10$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$(5x + |x - a^2| -4|x + 1| - a^2)^2 + (a + 2)(5x + |x - a^2| -4|x + 1| - a^2) + 1 = 0$$

имеет ровно два различных корня.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 567 и 1414?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 567?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.