Тип 16 № 22851

Решение:

Ограничения:

$$(*) \quad 50x^2 + 50x + 12{,}5 \neq 0$$

Умножим на $2$ для удобства:

$$100x^2 + 100x + 25 = 0$$

$$D = 100^2 - 4\cdot100\cdot25 = 10000 - 10000 = 0$$

Значит, знаменатель имеет один корень кратности $2$:

$$100x^2 + 100x + 25 = (10x + 5)^2$$

Следовательно,

$$50x^2 + 50x + 12{,}5 = 0{,}5(100x^2 + 100x + 25) = 0{,}5(10x + 5)^2$$

Преобразуем числитель:

$$27^{x + 1} - 3\cdot9^{x + 1} + 3^{x + 2} - 1 =$$

$$= 27\cdot27^x - 3\cdot9\cdot9^x + 9\cdot3^x - 1 =$$

$$= 27\cdot(3^3)^x - 27\cdot(3^2)^x + 9\cdot3^x - 1 =$$

$$= 27\cdot3^{3x} - 27\cdot3^{2x} + 9\cdot3^x - 1$$

Пусть $t = 3^x > 0$. Тогда числитель примет вид:

$$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1$$

Заметим, что это полный куб:

$$27t^3 - 27t^2 + 9t - 1 = (3t - 1)^3$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно:

$$\frac{(3\cdot3^x - 1)^3}{0{,}5(10x + 5)^2} \geq 0$$

$$\frac{(3^{x + 1} - 1)^3}{0{,}5(10x + 5)^2} \geq 0$$

По методу рационализации:

$$\frac{(x + 1 - 0)^3}{(10x + 5)^2} \geq 0$$

Так как $3^{x + 1} - 1 = 0 \Rightarrow 3^{x + 1} = 1 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Получаем:

$$\frac{(x + 1)^3}{(10x + 5)^2} \geq 0$$

Решим методом интервалов:

Получаем:

$$x \in [-1; -0{,}5) \cup (-0{,}5; +\infty)$$

Ответ: $[-1; -0{,}5) \cup (-0{,}5; +\infty)$