Тип 14 № 22850

Решение:

Преобразуем уравнение, используя периодичность косинуса: $$2\cos(2x) - 2 + \sqrt8\sin x = -\sqrt6 + \sqrt{12}\sin x$$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$2\cos 2x - 2 + \sqrt6 + 2\sqrt2\sin x - 2\sqrt3\sin x = 0$$ $$2\cos 2x - 2 + \sqrt6 + (2\sqrt2 - 2\sqrt3)\sin x = 0$$

Раскроем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$2(1 - 2\sin^2 x) - 2 + \sqrt6 + (2\sqrt2 - 2\sqrt3)\sin x = 0$$ $$2 - 4\sin^2 x - 2 + \sqrt6 + (2\sqrt2 - 2\sqrt3)\sin x = 0$$ $$-4\sin^2 x + (2\sqrt2 - 2\sqrt3)\sin x + \sqrt6 = 0$$ $$4\sin^2 x + (2\sqrt3 - 2\sqrt2)\sin x - \sqrt6 = 0$$

Сгруппируем слагаемые: $$(4\sin^2 x - 2\sqrt2\sin x) + (2\sqrt3\sin x - \sqrt6) = 0$$ $$2\sin x(2\sin x - \sqrt2) + \sqrt3(2\sin x - \sqrt2) = 0$$ $$(2\sin x - \sqrt2)(2\sin x + \sqrt3) = 0$$

Получаем: $$2\sin x - \sqrt2 = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x + \sqrt3 = 0$$ $$\sin x = \frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt3}{2}$$

Решим каждое уравнение: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[0; \frac{3\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{\pi}{4}; \quad \frac{3\pi}{4}; \quad \frac{4\pi}{3}$$

Ответ:

а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$

б) $\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}; \frac{4\pi}{3}$