Санкт - Петербург

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$. Найдите угол $ABD$, если угол $BAD$ равен $35^\circ$ и угол $ACB$ равен $40^\circ$.

Даны векторы $\vec a =(1; 3)$ и $\vec b =(-4; 2)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\sqrt2$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 8 спортсменов из Сербии, 3 спортсмена из Хорватии и 6 — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Найдите корень уравнения $5^{x - 7} = \frac{1}{125}$

Найдите значение выражения $\log_30,9+ \log_310$

На рисунке изображены график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500 \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $90 \, \text{км/ч}$.

Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость баржи, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Найдите точку максимума функции $y= x^3 -192x + 14$.

а) Решите уравнение: $1 - \cos2x +\sqrt2\sin(x) = \sqrt2 -2\sin (x + \pi)$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 2$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.

б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\sqrt3$?

Решите неравенство $\frac{x^3 - x^2 - x + 1}{9^{x^2} -18\cdot3^{x^2} + 81} \leq 0$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$, если общая сумма платежей в 2027 году составила 7830 тысяч рублей?

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром $O$. Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A$. Известно, что $\angle MNK = 90^\circ, \quad \angle NKL = \angle KLM = 120^\circ.$

a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO$.

б) Найдите длину стороны $MN$, если $LA = \sqrt3$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$(|x- a - 2| + |x - a + 2|)^2 -a (| x- a - 2| + |x - a + 2|) + a^2 - 64= 0$$ имеет ровно два различных корня.

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30 032.

а) Может ли среди записанных на доске чисел быть число 312?

б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться 6?

в) Отношение двух записанных на доске чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.