Тип 14 № 22822

Решение:

Преобразуем уравнение: $$1 - \cos2x + \sqrt2 \sin x = \sqrt2 - 2\sin(x+\pi)$$ Учитывая, что $\sin(x+\pi) = -\sin x$, получаем: $$1 - \cos2x + \sqrt2 \sin x = \sqrt2 + 2\sin x$$ Так как $\cos2x = 1 - 2\sin^2 x$, то: $$1 - (1 - 2\sin^2 x) + \sqrt2 \sin x = \sqrt2 + 2\sin x$$ $$2\sin^2 x + \sqrt2 \sin x = \sqrt2 + 2\sin x$$ $$2\sin^2 x + \sqrt2 \sin x - \sqrt2 - 2\sin x = 0$$ Сгруппируем: $$2\sin x(\sin x - 1) + \sqrt2(\sin x - 1) = 0$$ $$(\sin x - 1)(2\sin x + \sqrt2) = 0$$ Отсюда: $$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на промежутке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Корни, принадлежащие промежутку: $$-\frac{3\pi}{2}; \quad -\frac{9\pi}{4}; \quad -\frac{11\pi}{4}$$

Ответ:

а) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \; x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$;

б) $-\frac{3\pi}{2}; -\frac{9\pi}{4}; -\frac{11\pi}{4}$