Санкт-Петербург

a) Решите уравнение: $\sqrt2\cos ^3 x - \sqrt2\cos x + \sin ^2 x = 0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $CD$, $CC_1$ и $A_1B_1$ отметили точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Известно, что
$A_1M = MB_1$, $DK = 2KC$, а четырёхугольник $AKLM$ — равнобедренная трапеция.

а) Докажите, что $CL = 2LC_1$.

б) Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AA_1 = 7$.

Решите неравенство $\frac{0,125^x - 64}{16^x-4^{x + 1} + 4} \leq 0$

В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этому счёту таковы:

— 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт $488\,000$ рублей;

— 30 июня сумма на счёте увеличивается на $25\%$ по сравнению с суммой, находящейся на счёте 29 июня;

— 1 июля 2027, 2028, 2029 годов Андрей снимает со счёта одну и ту же фиксированную сумму;

— 1 июля 2029 года на счёте не должно остаться денег.

Найдите сумму, которую должен будет снимать со счёта Андрей каждый год.

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 3$, $BC = 8$, $AB = 9$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\sqrt{x+a}\cdot \ln(x - 3a) = (x-1)\ln(x-3a)$$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$.

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 5, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 39?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.