Тип 14 № 20960

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$\sqrt2\cos^3 x - \sqrt2\cos x + 1 - \cos^2 x = 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(\sqrt2\cos^3 x - \sqrt2\cos x) + (1 - \cos^2 x) = 0.$$

Вынесем общий множитель в первой скобке:

$$\sqrt2\cos x(\cos^2 x - 1) + (1 - \cos^2 x) = 0.$$

Заметим, что $1 - \cos^2 x = -(\cos^2 x - 1)$. Тогда:

$$\sqrt2\cos x(\cos^2 x - 1) - (\cos^2 x - 1) = 0.$$

Выносим общий множитель $(\cos^2 x - 1)$:

$$(\cos^2 x - 1)(\sqrt2\cos x - 1) = 0.$$

Отсюда:

$$\cos^2 x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt2\cos x - 1 = 0.$$

$$\cos x = \pm 1 \quad \text{или} \quad \cos x = \frac{\sqrt2}{2}.$$

$$x = \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$:

Для $x = \pi k$: подходят $3\pi$ и $4\pi$.

Для $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: подходит $-\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$.

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi; \quad \frac{15\pi}{4}; \quad 4\pi.$$

Ответ: а) $\pi k; \ \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$ б) $3\pi; \ \frac{15\pi}{4}; \ 4\pi$.