Тип 15 № 20961

Решение:

а) Так как четырёхугольник $AKLM$ является трапецией, его основания параллельны, следовательно, $AM \parallel KL$. Прямая $ML$ не может быть параллельна $AK$, поскольку она пересекает плоскость основания $ABCD$, в которой лежит $AK$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1M$ и $LCK$. Они имеют по равному острому углу (углы между соответствующими сторонами), поэтому они подобны. Из подобия вытекает пропорция: $$\frac{LC}{AA_1} = \frac{KC}{A_1M}.$$ По условию $KC$ в четыре раза меньше ребра основания, а $A_1M$ в два раза меньше ребра основания. Следовательно, $$\frac{LC}{AA_1} = \frac{LC}{CC_1} =\frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3},$$ то есть $$CC_1 = \tfrac{3}{2}LC.$$ Откуда $LC = 2LC_1$. Что и требовалось доказать.

Пусть сторона основания призмы равна $3a$. Тогда $KC = a$, $DK = 2a$, $A_1M = \frac{3a}{2}$. Из условия $AA_1 = 7$ и доказанного в пункте а) $CL = 2LC_1$ находим: $$LC = \frac{2}{3}\cdot 7 = \frac{14}{3}, \qquad LC_1 = \frac{7}{3}.$$

Из прямоугольных треугольников $ADK$ и $MC_1L$:

$$AK = \sqrt{AD^2 + DK^2} = \sqrt{(3a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{13}\,a,$$ $$MC_1 = \sqrt{\left(\frac{3a}{2}\right)^2 + (3a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + 9a^2} = \frac{3\sqrt5}{2}a.$$

Так как $AKLM$ — равнобедренная трапеция, её боковые стороны равны: $AK = ML$. Найдём $ML$: $$ML = \sqrt{MC_1^2 + LC_1^2} = \sqrt{\left(\frac{3\sqrt5}{2}a\right)^2 + \left(\frac{7}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{45}{4}a^2 + \frac{49}{9}}.$$ Приравниваем $ML = AK$: $$\sqrt{\frac{45}{4}a^2 + \frac{49}{9}} = \sqrt{13}\,a.$$ Возводим в квадрат: $$\frac{45}{4}a^2 + \frac{49}{9} = 13a^2 \;\Longrightarrow\; \frac{49}{9} = \left(13 - \frac{45}{4}\right)a^2 = \frac{7}{4}a^2.$$ Отсюда $$a^2 = \frac{49}{9} \cdot \frac{4}{7} = \frac{28}{9}.$$ Сторона основания $3a$, значит площадь основания: $$S_{\text{осн}} = (3a)^2 = 9a^2 = 9 \cdot \frac{28}{9} = 28.$$ Высота призмы $h = AA_1 = 7$. Объём: $$V = S_{\text{осн}} \cdot h = 28 \cdot 7 = 196.$$

Ответ: $196$.