Объём фигуры

Дана треугольная пирамида $SABC$. Высота $SO$ опускается на середину высоты $CH$ треугольника ABC.

а) Докажите, что $SA^2 - SB^2=AC^2 -BC^2$.

б) Найдите объём пирамиды $SABC$, если $AB=25$, $BC=20$, $AC=5\sqrt3$, $SC=5\sqrt{10}$.

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

В правильной шестиугольной пирамиде GABCDEF сторона основания BC=4, а боковое ребро GB=7. Точка H лежит на ребре CD, причем CH=1, точка I лежит на ребре GD, причем GI=4.

а) Докажите, что плоскость HIE перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б) Найдите объем пирамиды DEIH.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN  — квадрат, и AK:KC=3:7.

а) Докажите, что AB:CD=3:7.

б) Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Основанием прямой треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ является прямоугольный треугольник $ABC$, причём $\angle C = 90^\circ$. Диагонали боковых граней $AA_{1}B_{1}B$ и $BB_{1}C_{1}C$ равны $26$ и $10$ соответственно, $AB = 25$.

а) Докажите, что $\triangle BA_{1}C_{1}$ — прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды $AA_{1}C_{1}B$.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, в которой $AB = 6$ и $AA_1 = 3$. Точки $O$ и $O_1$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. На ребре $CC_1$ отмечена точка $M$ такая, что $CM = 1$.

a) Докажите, что прямая $OO_1$ содержит точку пересечения медиан треугольника $ABM$.

б) Найдите объём пирамиды $ABMC_1$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Основанием прямой треугольной призмы $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$ является прямоугольный треугольник $ABC$, причем $\angle C = 90^\circ$. Диагонали боковых граней $AA_{1}B_{1}B$ и $BB_{1}C_{1}C$ равны соответственно $26$ и $10$, $AB = 25$.

а)Докажите, что $\triangle B A_{1} C_{1}$ — прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $A A_{1} C_{1} B$.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=4$, а боковое ребро $SA=7$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM=SK=1$.

а) Доказать, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.

б) Найти объём пирамиды $BCKM$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$, сторона основания $AB = 16$, высота $SH = 10$, точка $K$ — середина $AS$. Плоскость, проходящая через точку $K$ и параллельная основанию пирамиды, пересекает рёбра $SB$ и $SC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно.

а)Докажите, что площадь $PQBC$ относится к площади $BSC$ как $3 : 4$.

б)Найдите объём пирамиды $KBQPC$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 31

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота $AA_1$ равна $3\sqrt{5}$, $BC = CD = 6$, а четырёхугольник $ABDE$ — прямоугольник со сторонами $AB = 5$, $AE = 4\sqrt{5}$.

а)Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.

б)Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 23

Основанием четырёхугольной призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ является прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD = 90^\circ$, а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b$.

а)Докажите, что если $c = 4b$, то объёмы многогранников, на которые призму $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ делит плоскость $(CDA_1)$, относятся как $3 : 2$.

б)Объёмы многогранников $DA_1 D_1 C B_1 C_1$ и $ADA_1 B C B_1$, на которые призму $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ делит плоскость $(CDA_1)$, соответственно равны $30$ и $20$. Найдите высоту призмы $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, если $CD = 5$, $AD = 4$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 19

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK:KC = 2:3$, а KLMN — квадрат.

а) Доказать, что $AB:CD=2:3$.

б) Найти объем пирамиды $CKMN$, если объем тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $CD$, $CC_1$ и $A_1B_1$ отметили точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Известно, что
$A_1M = MB_1$, $DK = 2KC$, а четырёхугольник $AKLM$ — равнобедренная трапеция.

а) Докажите, что $CL = 2LC_1$.

б) Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AA_1 = 7$.

Дана правильная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На рёбрах $CD$, $CC_1$ и $A_1B_1$ отметили точки $K$, $L$ и $M$ соответственно. Известно, что
$A_1M = MB_1$, $DK = 3KC$, а четырёхугольник $AKLM$ — равнобедренная трапеция.

а)]Докажите, что $CL = LC_1$.

б)Найдите объём призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $AA_1 = 5$.