Разные города

В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $C$ равен $20^\circ$, угол $CAD$ равен $50^\circ$. Найдите угол $B$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a =(0; 3)$, $\vec b =(-2; 4)$ и $\vec c =(4; -1)$. Найдите длину вектора $\vec a +2 \vec b + \vec c$.

Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 24 из США, 13 из Мексики, остальные — из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдите корень уравнения $16^{x - 9} = \frac{1}{2}$

Найдите значение выражения $\log_31,8 + \log_35$

На рисунке изображён график ${y=f'\left(x\right)}$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-18; 6\right)$. Найдите количество точек минимума функции $f\left(x\right)$, принадлежащих отрезку $\left[-13;1\right]$.

Источник: ЕГЭ 2025. Основная волна. Центр

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500 \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $90$ км/ч.

Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость баржи, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Найдите точку максимума функции $y= x^3 -192x + 14$.

а) Решите уравнение: $$1 - \cos2x +\sqrt3\sin(x + \pi) = \sqrt3 -2\sin x$$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Решите неравенство $\frac{27^x -9^{x + 1} +3^{x + 3} -27}{50x^2 -110x + 60,5} \geq 0$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $r$, если общая сумма платежей в 2027 году составила 7830 тысяч рублей?

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM$, угол $ACB$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BM$. В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ$. Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F$. Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM$, если $AB = 8$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$(4x -3|x + a^2| + |x - 1| +3a^2)^2 - (a + 1)(4x -3|x + a^2| + |x - 1| +3a^2) + 4 = 0$$

имеет ровно два различных корня.

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых четырех или семи чисел является целым числом.

а) Могут ли на доске одновременно быть записаны числа 567 и 1414?

б) Может ли одно из написанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если на доске есть число 567?

в) Найдите минимальное n, при котором на доске одновременно записаны числа 1 и $n^2$. $(n \neq 1)$.