Тип 19 № 21134

Решение:

Сделаем замену $t(x) = 4x -3|x + a^2| + |x - 1| +3a^2$ -- функция от $x$.

Тогда исходное уравнение примет вид: $$t^2 - (a + 1)t + 4 = 0$$

Рассмотрим случаи раскрытия модулей:

$$t(x) = \begin{cases} 6x + 6a^2 + 1, \quad x < -a^2\\ 1, \quad -a^2 \leq x \leq 1\\ 2x -1 , \quad x > 1 \end{cases}$$

Построим график этой функции в осях $xOy$:

Одно значение $t$ соответствует одному значению $x$ на промежутке $x \in (-\infty; -a^2) \cup (1; +\infty)$.

При $x \in (-a^2; 1)$ $t$ принимает единственное значение $1$ при любом значении переменной $x$, что дает нам бесконечное кол-во решений, что нам не подходит.

Значит одно значение $t$ отличное от $1$ будет давать нам ровно 1 решение исходного уравнения.

Чтобы исходное уравнение имело 2 различных решения, необходимо чтобы уравнение $t^2 - (a + 1)t + 4 =0$ имело 2 различных решения отличных от $1$.

Зададим условия:

$$\begin{cases} D > 0\\ (1)^2 -(a + 1) + 4 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a + 1)^2 - 16 > 0\\ a \neq 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in (-\infty; -5) \cup (3; +\infty)\\ a \neq 4 \end{cases}$$

Получаем:

$$a \in (-\infty; -5) \cup \left(3;4\right) \cup \left(4;+\infty\right)$$

Ответ: $(-\infty; -5) \cup \left(3;4\right) \cup \left(4;+\infty\right)$