Демовариант №3

Найдите хорду, на которую опирается угол $30^\circ$, вписанный в окружность радиуса 3.

Источник: Банк ФИПИ

Найдите найдите скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$.

Источник: БАНК ФИПИ.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Источник: БАНК ФИПИ.

На борту самолёта 25 мест рядом с запасными выходами и 17 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 200 мест.

Биатлонист 7 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние четыре промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ запишите в формате $0,xx$.

Источник: Банк ФИПИ.

В таблице показаны возможные выигрыши в беспроигрышной денежной лотерее и количества соответствующих билетов. Цена одного билета равна $40$ рублей. Всего выпущено $2000$ билетов. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше математического ожидания выигрыша?

Найдите корень уравнения: $\log_5 (5 - x) = \log_5 3$

Источник: Банк ФИПИ

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{0,36} \cdot 0,3^2}{5^{-2}}$.

Источник: Банк ФИПИ

Материальная точка движется прямолинейно по закону ${x\left(t\right)=6t^2-48t+17}$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени $t=9$ с.

Источник: БАНК ФИПИ.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 2$ моля воздуха при давлении $p_1 = 1,6$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 6,2 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 11160 Дж.

Источник: БАНК ФИПИ

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Источник: БАНК ФИПИ

На рисунке изображён график функции $f(x) = a^x$. Найдите значение $x$, при котором $f(x) = 32$.

Источник: БАНК ФИПИ

При открытии вклада на сумму $500$ тысяч рублей сроком на $3$ года банк предлагает два варианта. Первый вариант — фиксированная ставка $12\%$ годовых на весь срок. При втором варианте ставка в первый год составляет $10\%$ годовых, а каждый следующий год увеличивается на $2$ процентных пункта. Определите, при выборе какого варианта к концу третьего года сумма на вкладе окажется большей. В ответе укажите разницу между суммами вкладов к концу третьего года в рублях.

а) Решите уравнение: $4\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \ctg x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-5\pi; -4\pi]$.

Источник: Пробный ЕГЭ-2019

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 24$ и $BC = 4\sqrt{2}$. Длины боковых рёбер пирамиды: $$SA = 7,\quad SB = 25,\quad SD = 9.$$

а) Докажите, что $SA$ — высота пирамиды $SABCD$.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $(SBC)$.

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна

Решите неравенство: $\log_{11}(8x^2 + 7) - \log_{11}(x^2 + x + 1) \geq \log_{11}\left(\tfrac{x}{x + 5} + 7\right)$

Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ-2024

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте работают $24$ человека, каждый из которых готов трудиться по $5$ часов в день. Один рабочий за час добывает $1$ кг алюминия или $3$ кг никеля.

Во второй шахте работают $72$ человека, каждый из которых готов трудиться по $5$ часов в день. Один рабочий за час добывает $3$ кг алюминия или $1$ кг никеля.

Обе шахты поставляют металл на завод, где производят сплав, содержащий $2$ кг алюминия на каждый $1$ кг никеля. Какую наибольшую массу сплава может ежедневно производить завод?

В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$. Оказалось, что точки $A$,$A_1$,$C$,$C_1$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AA_1 : CC_1 = 4:3$ и $A_1C_1=6$.

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $$(2x - x^2)^2 - 4\sqrt{2x - x^2} = a^2 - 4a$$ имеет хотя бы один корень.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

Вася и Петя решали задачи из сборника, причем каждый следующий день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий, а Петя — на две задачи больше, чем в предыдущий. В первый день каждый решил хотя бы одну задачу, а в итоге каждый решил все задачи сборника.

а) Могло ли быть в сборнике 85 задач?

б) Могло ли быть в сборнике 213 задач, если каждый из мальчиков решал их более трех дней?

в) Какое наибольшее количество дней мог решать задачи Петя, если Вася решил весь сборник за 16 дней, а количество задач в сборнике меньше 300.

Источник: ЕГЭ 2019, досрочная волна