Найдите все значения a
, при каждом из которых уравнение
(2x−x2)2−42x−x2=a2−4a
имеет хотя бы один корень.
Источник: Основная волна ЕГЭ-2020
Решение:
Сделаем замену 2x−x2=t≥0.
Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке x=1 и равен 1.
Тогда: t∈[0;1].
Имеем:
t4−4t=a2−4a
Введём функцию f(t)=t4−4t
Возьмём производную от этой функции и найдём её нули:
f′(t)=4t3−4t=0⇔t=1
Точка t=1 является точкой минимума данной функции. Следовательно на отрезке [0;1] она монотонно убывает.
f(0)=0f(1)=−3
Значения данной функции будут находиться в промежутке [−3;0] при t∈[0;1].
Тогда, чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо чтобы правая часть уравнения лежала в промежутке [−3;0].