Свойства четных/нечетных и монотонных функций

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$(4x - x^2)^2 - 32\sqrt{4x - x^2} = a^2 - 14a$$ имеет хотя бы одно решение.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2023

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение $$(2x - x^2)^2 - 4\sqrt{2x - x^2} = a^2 - 4a$$ имеет хотя бы один корень.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

Найдите все значения параметра $a$, при каждом их которых система

$$\begin{cases} 2^{|x|+3}+7|x|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$ имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом их которых система $$\begin{cases} 6\cdot 2^{|x|}+7|x|+1=6y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$ имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система $$\begin{cases} 5\cdot 2^{|x|}+6|x|+7=5y+6x^2-a\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$ имеет единственное решение.

Известно, что значение параметра $a$ таково, что система уравнений $$\begin{cases} 3^{\ln y}=27^{|x|}\\ \log_3(ax^2y^2+3)=\log_3(a^2+x^4y^2)+1 \end{cases}$$ имеет единственное решение. Найдите это значение параметра $a$ и решите систему при найденном значении параметра.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2+(1-a)^2=|x-1+a|+|x-a+1|$$ имеет единственный корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$64x^6+4x^2=(3x+a)^3+3x+a$$ не имеет корней.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos\left(\frac{10x-2x^2-a}{3}\right)-\cos(2x+a)=x^2-8x-a$$ имеет единственное решение.

Найдите все значения $a$, при которых любое решение уравнения $$3\sqrt[5]{6,2x-5,2}+4\log_{5}(4x+1)+5a=0$$ принадлежит отрезку $[1;6]$.

Найдите наименьшее и наибольшее значения параметра $a$, при которых уравнение

$$\sqrt{x-a}+\sqrt{x^{3}+1}=2$$ имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^{6}+(5a-8x)^{3}+3x^{2}+15a=24x$$ не имеет корней.