Центр

Площадь параллелограмма ABCD равна 12. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Даны векторы $\vec a(3; 1)$ и $\vec b(2; -6)$. Найдите значение выражения $(\vec a + \vec b)(5\vec a - \vec b)$.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Протор», «Ротор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать с мячом только вторую и последнюю игры.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,5. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения $\log_7(4 - x) = 2$

Найдите значение выражения $5\cos 2\alpha$, если $\sin \alpha = -0,9$.

На рисунке изображён график $y=f'\left(x\right)$ — производной функции $f\left(x\right)$. На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f\left(x\right)$?

Источник: БАНК ФИПИ.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=100\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=32\ \text{км/ч}^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $150\ \text{км}$ от города. Ответьте в минутах.

Один мастер может выполнить заказ за 15 часов, а другой — за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = a\sqrt x$ и $g(x) = kx$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку максимума функции $y=\left(2x^2-38x +38\right)e^{x-25}$.

а) Решите уравнение $2\sin ^2 x +\sqrt2\sin(2\pi - x) + \sqrt3\sin2x = \sqrt6\cos x$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$

В правильной треугольной призме сторона $AB$ основания равна 2, точка $M$— середина ребра $CC1$.

а) Докажите, что сечение $A1MB$ — равнобедренный треугольник.

б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения равна 6.

Решите неравенство $7\log_{12}\left(x^2-13x+42\right)\le 8+\log_{12}\frac{(x-7)^7}{x-6}.$

Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство $х$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x^2 + x + 7$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $р$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - (0,5x^2 + x + 7)$ Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

Дана трапеция с диагоналями, равными 5 и 12. Сумма оснований равна 13.

а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$x^4 + (a - 3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3|$$

либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 5 писем, или 16 писем, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

Обозначим через $a$ число юношей, отправивших по 5 писем, а через $b$ --- число юношей, отправивших по 16 писем. Тогда общее число юношей равно $a+b$. По условию девушек столько же, значит их тоже $a+b$. Общее количество отправленных писем равно $5a+16b$.