Дальний Восток

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $61^\circ$. Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a(1; 3)$ и $\vec b(-4; 2)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

Около конуса описана сфера. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $28\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Источник: Банк ФИПИ

На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения $3^{8 - x} = 27$

Найдите значение выражения $\frac{\log_713}{\log_{49}13}$

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500 \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $90 \, \text{км/ч}$.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно $420$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью на $1$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Источник: ЕГЭ 2025. Основная волна.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = \frac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку максимума функции $y= x^3 + 20x^2 + 100x + 23$.

а) Решите уравнение: $2\sin (-x) + 2\sqrt3\sin x -4\cos^2x = \sqrt3 - 4$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки M и K на ребрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $2AM = MA_1, A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно плоскости $ABB_1$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все ребра призмы равны 20.

Решите неравенство $\frac{2^{3x} - 10\cdot2^{2x} + 17\cdot2^{x } - 8}{x} \geq 0$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на $2\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году.

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $\angle BAC = 2\angle ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = 6$ и $AC = 4$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$a\left(x -\frac{9}{x}\right)^2 - 2\left(x - \frac{9}{x}\right) -49a + 18 = 0$$

имеет ровно два различных корня.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в)Найдите наибольшее возможное значение $k$.