Тип 18 № 22623

Решение:

а) Пусть $\angle ABC = \alpha$. Центральный угол $COA$ и вписанный угол $CBA$ опираются на одну дугу $CA$, значит, $\angle COA = 2\alpha$. Вписанные в меньшую окружность углы $COA$ и $CPA$ также опираются на одну дугу $CA$, следовательно, $\angle COA = \angle CPA = 2\alpha$. Тогда $\angle CPA = 2\alpha$, а $\angle BAC$ также равен $2\alpha$ (как вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$, равную дуге $CA$). Треугольники $ABC$ и $PAC$ имеют общий угол $C$ и равные углы $\angle BAC = \angle CPA$, значит, они подобны по двум углам.

б) Из подобия треугольников $ABC$ и $PAC$ следует, что $\angle PAC = \angle ABC = \alpha$. Значит, $AP$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$. Из подобия получаем пропорцию: $$\frac{AC}{CB} = \frac{CP}{AC},$$ откуда $$CP = \frac{AC^2}{CB} = \frac{4^2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.$$ По свойству биссектрисы треугольника: $$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}.$$ Так как $PB = CB - CP = 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}$, то $$AB = \frac{AC \cdot PB}{CP} = \frac{4 \cdot \frac{10}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{40}{3} \cdot \frac{3}{8} = 5.$$

Ответ: б) $5$.