Тип 14 № 22774

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойство нечётности синуса $\sin(-x) = -\sin x$:

$$-2\sin x + 2\sqrt3\sin x - 4\cos^2x = \sqrt3 - 4.$$

$$4\sin^2x + 2\sqrt3\sin x - 2\sin x - \sqrt3 = 0.$$

Сгруппируем:

$$(4\sin^2x + 2\sqrt3\sin x) - (2\sin x + \sqrt3) = 0.$$

Вынесем общие множители:

$$2\sin x(2\sin x + \sqrt3) - 1(2\sin x + \sqrt3) = 0.$$

$$(2\sin x + \sqrt3)(2\sin x - 1) = 0.$$

Отсюда:

$$2\sin x + \sqrt3 = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x - 1 = 0.$$

$$\sin x = -\frac{\sqrt3}{2} \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}.$$

Таким образом:

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k: \quad k = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \in \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right].$$

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k: \quad \text{подходящих } k \text{ нет}.$$

$$x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k: \quad k = -2 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3} \in \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right].$$

$$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k: \quad k = -2 \Rightarrow x = -\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{14\pi}{3} \in \left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right].$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{23\pi}{6}; \quad -\frac{13\pi}{3}; \quad -\frac{14\pi}{3}.$$

Ответ:

а) $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$

б) $-\frac{23\pi}{6}; -\frac{13\pi}{3}; -\frac{14\pi}{3}$