Дальний Восток

В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, $AB$ = 8, $\sin \angle A = 0,75$. Найдите $BC$.

Даны векторы $\vec a(1; 1)$ и $\vec b(0; 7)$. Найдите длину вектора $8\vec a +\vec b$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ известно, что $AB = 6$, $AD = 6$, $AA1 = 9$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $D, B, B_1, C_1$.

При производстве в среднем на каждые 1683 исправных насоса приходится 17 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Источник: ЕГЭ по математике 27.05.2025. Основная волна.

Найдите корень уравнения $\sqrt{15 - 2x} = 3$

Найдите значение выражения $\frac{6^{9,4}}{36^{3,2}}$.

На рисунке изображён график функции ${y=f\left(x\right)}$. На оси абсцисс отмечены семь точек: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ положительна?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

$$v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$$

где $c = 1500 \, \text{м}/\text{с}$ – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемого сигнала (в МГц), $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующий час — со скоростью 80 км/ч, а затем два часа — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображен график функции вида $f(x) = \log_ax + b$. Найдите $f(128)$.

Найдите точку минимума функции $y=\left(0,5-x\right)\cos x+\sin x$ принадлежащую промежутку $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$.

a) Решите уравнение: $\log_2(x^2 - 2x) = 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_20,1; \log_213]$

Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечения параллелепипеда плоскостями $AOB$ и $BOC$ являются прямоугольниками, стороны $AB$ и $BC$ этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.

а)  Докажите, что $ABCD$  — квадрат.

б)  Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $BOC$.

Решите неравенство $\frac{31 - 5\cdot 2^x}{4^x - 24\cdot 2^x + 128} \geq 0,25$

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 15000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$Q = 15000 - P.$$
Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 3000Q - 1000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Дан ромб $ABCD$. На диагонали $AC$ отмечены точки $M$ и $N$, так что $AM = NM = NC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$, а прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $BPDQ$ равна площади треугольника $ADC$.

б) Найдите $BD$, если известно, что $AC = 2\sqrt{3}$ и около пятиугольника $MNQDP$ можно описать окружность.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \frac{(y^2 -7y + xy - 4x + 12)\sqrt{x-4}}{\sqrt{y + 7}}=0\\ x+y-a=0 \end{cases}$$ имеет единственное решение.

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.