Тип 19 № 21080

Разберём первое уравнение системы: $$\begin{cases} x - 4\ge0\\ y + 7>0\\ \left[ \begin{aligned} &x=4\\ &y^2 -7y + xy - 4x + 12 = 0\quad (1)\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$$ $$(1) \quad y^2 -7y + xy - 4x + 12 = 0$$ $$y(y + x - 3) -4(y + x - 3) = 0 \Leftrightarrow (y -4)(y + x - 3) = 0$$

Поэтому исходная система равносильна системе: $$\begin{cases} x - 4\ge0\\ y + 7>0\\ \left[ \begin{aligned} &x=4\\ &y = 4\quad \\ & y + x - 3 = 0\\ &x + y = a \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно одно решение, когда семейство прямых $y=a-x$ имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём граничные точки и определим количество решений для всех $a$:

Таким образом собираем ответ:

$a\in (-3; 3) \cup (3; 8]$