Санкт - Петербург

a) Решите уравнение: $6\log_8^2x - 5\log_8x + 1 = 0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2; 2,5]$

Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечения параллелепипеда плоскостями $AOB$ и $BOC$ являются прямоугольниками, стороны $AB$ и $BC$ этих сечений в 2 раза меньше соответственных больших сторон сечений.

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $BOC$.

Решите неравенство $\frac{2^x}{2^x - 8} +\frac{2^x + 8}{2^x - 4} + \frac{66}{4^x - 12\cdot2^x + 32} \leq 0$

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 15000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$Q = 15000 - P.$$
Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $3000Q + 1000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 3000Q - 1000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

В ромбе $ABCD$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AD$ и $DC$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ пересекают диагональ $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $S_{BMN}$ = $S_{AMP} + S_{NQC}$.

б) Известно, что в пятиугольник $DPMNQ$ можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна $6\sqrt5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \frac{(y^2-xy+4x-7y+12)\sqrt{x+5}}{\sqrt{5-x}}=0\\ x+y-a=0 \end{cases}$$ Имеет ровно два различных решения

На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в)Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.