Санкт-Петербург

а) Решите уравнение

$$3\tg^2 x-\frac{5}{\cos x}+5=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right].$$

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник со сторонами

$$AB=24,\qquad BC=7.$$ Боковые рёбра пирамиды равны

$$SA=\sqrt{51},\qquad SB=\sqrt{627},\qquad SD=10.$$ а) Докажите, что $SA$ является высотой пирамиды. б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BD$.

Решите неравенство

$$\frac{ \log_2\left(2x^2-17x+35\right)-1 }{ \log_2(x+6) } \leq0.$$

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 27 млн рублей?

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$, если $\angle ABC = 45^\circ$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\left(1-(x+a+1)^2\right)^3 - \left(1-(x+a+1)^2\right)^2 = 2^{3|x-a|}-2^{2|x-a|}$$ имеет хотя бы одно решение.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1782. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры. Например, число 17 заменили числом 71.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза больше суммы исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $5{,}5$ раза больше суммы исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел