Тип 14 № 20848

Решение.

а) Область допустимых значений задаётся условием

$$\cos x\ne 0.$$

Преобразуем исходное уравнение: $$\begin{aligned} 3\tg^2 x-\frac{5}{\cos x}+5=0 &\Longleftrightarrow 3\cdot\frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} -\frac{5}{\cos x}+5=0 \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} 2\cos^2 x-5\cos x+3=0,\\ \cos x\ne 0. \end{cases} \end{aligned}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$2\cos^2 x-5\cos x+3 =(2\cos x-3)(\cos x-1).$$

Следовательно,

$$\left[ \begin{aligned} \cos x&=\frac32,\\ \cos x&=1. \end{aligned} \right.$$

Первое равенство не имеет решений, поскольку

$$-1\leq\cos x\leq1.$$

Поэтому

$$\cos x=1 \Longleftrightarrow x=2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Найдём корни, принадлежащие заданному отрезку:

$$-3\pi\leq2\pi k\leq-\frac{3\pi}{2}.$$

Разделив двойное неравенство на $2\pi>0$, получаем

$$-\frac32\leq k\leq-\frac34.$$

Так как $k\in\mathbb Z$, имеем

$$k=-1.$$

Следовательно, единственный искомый корень:

$$x=2\pi\cdot(-1)=-2\pi.$$

$$\text{Ответ: } \text{а) } x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z; \quad \text{б) } -2\pi.$$