Тип 16 № 20850

Найдём область допустимых значений:

$$\begin{cases} 2x^2-17x+35>0,\\ x+6>0,\\ \log_2(x+6)\ne0. \end{cases}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$2x^2-17x+35=(2x-7)(x-5).$$

Поэтому

$$\begin{cases} (2x-7)(x-5)>0,\\ x>-6,\\ x+6\ne1. \end{cases}$$

Первое неравенство выполняется при

$$x<\frac72 \qquad\text{или}\qquad x>5.$$

Кроме того,

$$x\ne-5.$$

Следовательно, итоговая область допустимых значений:

$$x\in (-6;-5)\cup \left(-5;\frac72\right)\cup (5;+\infty).$$

Перейдём к решению неравенства на ОДЗ: $$\begin{aligned} \frac{ \log_2(2x^2-17x+35)-1 }{ \log_2(x+6) } &\leq0 \\ \Longleftrightarrow\quad \frac{ \log_2(2x^2-17x+35)-\log_2 2 }{ \log_2(x+6) } &\leq0. \end{aligned}$$

Функция $\log_2 t$ является возрастающей, поэтому на ОДЗ знак числителя совпадает со знаком выражения

$$2x^2-17x+35-2,$$ а знак знаменателя совпадает со знаком выражения

$$x+6-1.$$

Следовательно, исходное неравенство равносильно рациональному:

$$\frac{2x^2-17x+33}{x+5}\leq0.$$

Разложим числитель на множители:

$$2x^2-17x+33=(2x-11)(x-3).$$

Получаем

$$\frac{(2x-11)(x-3)}{x+5}\leq0.$$

Критические точки:

$$-5,\qquad 3,\qquad \frac{11}{2}.$$

Расположим их на числовой прямой:

Без учёта ОДЗ получаем

$$x\in (-\infty;-5)\cup \left[3;\frac{11}{2}\right].$$

Пересечём полученное множество с областью допустимых значений: $$\begin{aligned} &\left( (-\infty;-5)\cup \left[3;\frac{11}{2}\right] \right) \\ &\qquad{}\cap \left( (-6;-5)\cup \left(-5;\frac72\right)\cup (5;+\infty) \right). \end{aligned}$$

В результате получаем

$$x\in (-6;-5)\cup \left[3;\frac72\right)\cup \left(5;\frac{11}{2}\right].$$

$$\text{Ответ: } x\in (-6;-5)\cup \left[3;\frac72\right)\cup \left(5;\frac{11}{2}\right].$$