Тип 4 № 20849

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $SAB$. Имеем $$SA^2+AB^2=51+24^2=51+576=627=SB^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $SAB$ прямоугольный, поэтому

$$SA\perp AB.$$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то

$$AD=BC=7.$$

В треугольнике $SAD$ имеем

$$SA^2+AD^2=51+7^2=51+49=100=SD^2.$$

Следовательно, треугольник $SAD$ также является прямоугольным и

$$SA\perp AD.$$

Прямые $AB$ и $AD$ пересекаются и лежат в плоскости основания $ABCD$. Поскольку прямая $SA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то

$$SA\perp(ABCD).$$

Таким образом, $SA$ является высотой пирамиды.

б) Проведём через точку $C$ прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $E$. Тогда

$$CE\parallel BD.$$

Кроме того, поскольку

$$DE\parallel BC,$$ четырёхугольник $BDEC$ является параллелограммом. Поэтому

$$CE=BD,\qquad DE=BC=7.$$

Диагональ прямоугольника $ABCD$ равна

$$BD=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{24^2+7^2} =\sqrt{625} =25.$$

Следовательно,

$$CE=25.$$

Так как точка $E$ лежит на продолжении $AD$ за точку $D$, то

$$AE=AD+DE=7+7=14.$$

Из пункта а) известно, что

$$SA\perp(ABCD).$$ Поскольку $AE$ лежит в плоскости основания, имеем

$$SA\perp AE.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $SAE$:

$$SE^2=SA^2+AE^2 =51+14^2 =51+196 =247.$$

Аналогично в прямоугольном треугольнике $SAC$:

$$AC^2=AB^2+BC^2 =24^2+7^2 =625,$$ поэтому

$$SC^2=SA^2+AC^2 =51+625 =676,$$ то есть

$$SC=26.$$

Поскольку $CE\parallel BD$, угол между прямыми $SC$ и $BD$ равен углу между прямыми $SC$ и $CE$, то есть углу $\angle SCE$.

Пусть

$$\alpha=\angle SCE.$$

В треугольнике $SCE$ по теореме косинусов:

$$SE^2=SC^2+CE^2-2SC\cdot CE\cos\alpha.$$

Отсюда $$\begin{aligned} \cos\alpha &=\frac{SC^2+CE^2-SE^2}{2SC\cdot CE}\\ &=\frac{26^2+25^2-247}{2\cdot26\cdot25}\\ &=\frac{676+625-247}{1300}\\ &=\frac{1054}{1300}\\ &=\frac{527}{650}. \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\alpha=\arccos\frac{527}{650}.$$

$$\text{Ответ: } \arccos\frac{527}{650}.$$