Санкт-Петербург

а) Решите уравнение

$$\cos 2x-\sqrt{2}\sin(x+\pi)-1=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right].$$

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$~--- центр основания пирамиды, точка $M$~--- середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении

$$BK:KC=2:1.$$ Известно, что

$$AB=6,\qquad SO=3\sqrt{7}.$$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

Решите неравенство: $\frac{2^x + 8}{2^x - 8} + \frac{2^x - 8}{2^x + 8} \geq \frac{2^{x + 4} + 96}{4^x - 64}$

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами, то есть за три года, а общая сумма выплат после полного погашения кредита на $40\,980$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что

$$AB=CD=5,\qquad BC=DE=8.$$

а) Докажите, что

$$AC=CE.$$

б) Найдите длину диагонали $BE$, если

$$AD=10.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} y=|x-a|-4,\\ 4|y|+x^2+8x=0 \end{cases}$$ имеет ровно четыре различных решения.

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $20$ тонн или $60$ тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок. Количество контейнеров с сахарным песком составляет $75\%$ от общего числа контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $80\%$ от общей массы?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $40\%$ от общей массы?

в) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?