Демовариант №5

Площадь треугольника $ABC$ равна 10, $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB$. Найдите площадь трапеции $ABDE$.

Источник: Банк ФИПИ

Даны векторы $\vec{a}\left(1;2\right)$, $\vec{b}\left(3;-6\right)$ и $\vec{c}\left(4;-3\right)$. Найдите значение выражения $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\cdot \vec{c}$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Источник: БАНК ФИПИ.

Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 $^\circ$С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 $^\circ$С или выше.

Источник: Банк ФИПИ

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0.9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0.2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Источник: БАНК ФИПИ.

В офисе работают два принтера. Вероятность того, что к концу рабочего дня в первом принтере закончится бумага, равна $0{,}3$. Для второго принтера эта вероятность равна $0{,}5$. Считая эти события независимыми, найдите математическое ожидание числа принтеров, в которых к концу дня закончится бумага.

Найдите корень уравнения: $(x - 15)^2 = (x + 5)^2$

Источник: Банк ФИПИ

Найдите значение выражения $\frac{{{(11a)}^{2}}-11a}{11a^2-a}$.

Источник: Банк ФИПИ

На рисунке изображён график ${y=f'\left(x\right)}$ — производной функции $f\left(x\right)$. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции ${y=f\left(x\right)}$ параллельна прямой $y=10 - 7x$ или совпадает с ней.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $$P = \sigma ST^4,$$ где:

• $P$ — мощность излучения звезды (Вт),
• $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт·м$^{-2}$·К$^{-4}$ — постоянная Стефана-Больцмана,
• $S$ — площадь поверхности звезды (м$^2$),
• $T$ — температура (К).

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{18} \cdot 10^{21}$ м$^2$, мощность её излучения равна $4{,}104 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

Источник: БАНК ФИПИ.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно $420$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью на $1$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Источник: ЕГЭ 2025. Основная волна.

На рисунке изображены графики функций $f(x) = 4x^2 - 25x + 41$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$.

Источник: БАНК ФИПИ

12 января был выдан кредит. В таблице представлен график его погашения. Долг указан в процентах от первоначальной суммы кредита непосредственно после очередного платежа.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на $4\%$. Выплаты по погашению кредита производятся в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше первоначальной суммы кредита?

Решите уравнение $\sin 2x - 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2015

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK:KC = 2:3$, а KLMN — квадрат.

а) Доказать, что $AB:CD=2:3$.

б) Найти объем пирамиды $CKMN$, если объем тетраэдра $ABCD$ равен 25.

Решить неравенство:

$5^{\log_{5}(9-x^2)}+x^4-29\ge 0$

В двух областях работают по $72$ человека, каждый из которых готов трудиться по $4$ часа в сутки на добыче алюминия или никеля.

В первой области один рабочий за час добывает $0{,}5$ кг алюминия или $0{,}25$ кг никеля.

Во второй области для добычи $x$ кг алюминия требуется $x^2$ человеко-часов, а для добычи $y$ кг никеля требуется $y^2$ человеко-часов.

Для нужд производства алюминий и никель полностью взаимозаменяемы. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C=90^\circ$) высота $CH$. На гипотенузе $AB$ отмечена точка $P$ так, что $AH=BP$. Перпендикуляр к $AB$ в точке $P$ пересекает описанную окружность в точках $Q$ и $T$.

a) Докажите, что $ACQB$ — равнобокая трапеция.

б) Найдите длину хорды $QT$, если известно, что $CQ=5$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{4x - 3}\cdot\ln(5x - a) = \sqrt{4x - 3}\cdot\ln(6x + a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2023

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно — 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно — 8.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Источник: ЕГЭ 2017, Демоверсия