Демовариант №10

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, угол $A$ равен $30^\circ$, $AB=2\sqrt{3}$. Найдите высоту $CH$.

Источник: Банк ФИПИ

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $\vec a+\vec b$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.

Источник: БАНК ФИПИ.

У Вити в копилке лежит 12 рублёвых, 6 двухрублёвых, 4 пятирублёвых и 3 десятирублёвых монеты. Витя наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит более 70 рублей.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Кировского района Санкт-Петербурга, 2015

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Лучник последовательно стреляет по четырём мишеням. По каждой мишени он стреляет до первого попадания, после чего переходит к следующей. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна $0{,}25$. Найдите математическое ожидание общего числа выстрелов, необходимого для поражения всех четырёх мишеней.

Найдите корень уравнения $\dfrac{x+89}{x-7}=\dfrac{-5}{x-7}$.

Найдите значение выражения $a(36a^2-25)\left(\dfrac{1}{6a+5}-\dfrac{1}{6a-5}\right)$ при $a=36,7$.

Источник: Банк ФИПИ

На рисунке изображён график функции ${y=f\left(x\right)}$. На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$, $x_{11}$, $x_{12}$. В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f\left(x\right)$ отрицательна.

Источник: БАНК ФИПИ.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U=U_0\sin(\omega t+\varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0=2$ В, частота $\omega=150\,\pi$ с, фаза $\varphi=45^\circ$. Датчик настроен так что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорится лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно $90$ км/ч и $30$ км/ч. Длина товарного поезда равна $600$ метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно $1$ минуте. Ответ дайте в метрах.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике. Санкт-Петербург 2013.

На рисунке изображён график функции $f(x)=k\sqrt{x}$. Найдите значение $f(25)$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $500\,000$ рублей. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено $300\,000$ рублей, а во второй год — $455\,000$ рублей.

а) Решите уравнение:

$$\sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=\sqrt{x^4+2x^2}.$$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_3 0,5;\log_3 2]$.

В основании прямой призмы $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP : PB = 1 : 3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_{1}C_{1}$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$.

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $$AB = AA_{1},\qquad AB : BC = 2 : 7.$$

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Решите неравенство: $x^2\log_{243}(4 - x) \leq \log_3(x^2 - 8x + 16)$

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

Эпицентр циклона движется прямолинейно. Во время первого измерения он находился в $40$ км к северу и в $10$ км к западу от метеостанции, а во время второго измерения — в $28$ км к северу и в $6$ км к западу от метеостанции.

Определите наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции.

Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ известны стороны и диагональ: $AB = 3$, $BC = CD = 5$, $AD = 8$, $AC = 7$.

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите $BD$.

Источник: ЕГЭ 2018, досрочная волна

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$|x^2 - 2x| + 2a = ax - 1$$ имеет единственное решение.

Есть четыре коробки: в первой коробке 101 камень, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой коробке камней нет. За один ход берут по одному камню из любых трёх коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а)  Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй  — 102, в третьей  — 103, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой коробке оказаться 306 камней?

в)  Какое наибольшее число камней могло оказаться в первой коробке?