Тип 19 № 16595

Преобразуем исходное уравнение: $$|x^2 - 2x| = a(x - 2) - 1$$ Обозначим $f(x) = |x^2 - 2x|$, а $g(x) = a(x - 2) - 1$.

Графиком функции $f(x)$ является парабола, часть которой (ниже оси абсцисс) отражена засчёт модуля.

Графиком функции $g(x)$ является прямая, которая вращается вокруг точки $(2; -1)$.

Построим графики функций и отметим граничные случаи:

Исходное уравнение имеет единственное решение тогда, когда графики функций $f(x)$ и $g(x)$ имеют ровно одну точку пересечения.

На графике отмечены два единственных случая:

1. Прямая $y = a(x - 2) - 1$ касается правой ветви параболы $y = x^2 - 2x, x \geq 2$.

2. Прямая $y = a(x - 2) - 1$ пересекает точку $(0; 0)$.

Рассмотрим первый случай. $$a(x - 2) - 1 = x^2 - 2x \Leftrightarrow x^2-x(a + 2) +2a + 1 = 0$$ $$D = (a + 2)^2 - 4(2a + 1) = 0 \Leftrightarrow a =0 \text{ или } a = 4$$ Нам подходит значение $a = 4$, так как при $a = 0$ прямая будет касаться части параболы, которой не существует на графике.

Рассмотрим второй случай. $$g(0) = 0 \Leftrightarrow a(0 - 2) - 1 = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{1}{2}$$

Получаем ответ: $$a \in \left\{-\frac{1}{2};4\right\}$$

Ответ: $\left\{-\frac{1}{2};4\right\}$