Дальний Восток

В треугольнике ABC угол C равен $90^\circ$, $AB$ = 45, $\sin \angle A = 0,6$. Найдите $BC$.

Даны векторы $\vec a(25; 0)$ и $\vec b(1; -5)$. Найдите длину вектора $\vec a -4\vec b$.

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ известно, что $AB = 5$, $AD = 10$, $AA1 = 9$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $D, B, B_1, C_1$.

При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

Источник: Банк ФИПИ

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые две мишени и не попадёт в последние две.

Найдите корень уравнения $\sqrt{57 - 7x} = 6$

Найдите значение выражения $\frac{4^{5,1}}{8^{2,4}}$.

На рисунке изображён график функции ${y=f\left(x\right)}$. На оси абсцисс отмечены восемь точек: $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8$. В скольких из этих точек производная функции $f(x)$ положительна?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 447 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением

$$v = c \cdot \frac{f - f_0}{f + f_0}$$

где $c = 1500 \, \text{м}/\text{с}$ – скорость звука в воде, $f_0$ – частота испускаемого сигнала (в МГц), $f$ – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 10 м/с.

Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа  — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа  — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображен график функции вида $f(x) = \log_ax + b$. Найдите $f(32)$.

Найдите точку максимума функции $y=-\dfrac{x^2+289}{x}$.

Источник: ЕГЭ 2025. Основная волна, резервный день.

a) Решите уравнение: $\log_2(x^2 + 2x) = 3$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_30,1; \log_313]$

Точка $O$ — центр грани $A1B1C1D1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечения параллелепипеда плоскостями $AOB$ и $BOC$ являются прямоугольниками, стороны $AB$ и $BC$ этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.

а) Докажите, что $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между прямой $A_1C$ и плоскостью $BOC$.

Решите неравенство $\frac{117 - 15\cdot 3^x}{9^x - 36\cdot 3^x + 243} \geq 0,5$

Зависимость количества $Q$ (в шт., $0 \leq Q \leq 20000$) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$Q = 20000 - P.$$
Затраты на производство $Q$ единиц товара составляют $6000Q + 4000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог $t$ рублей ($0 < t < 10000$) с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ - 6000Q - 4000000 - tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна $tQ$ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении $t$ общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Дан ромб $ABCD$. На диагонали $AC$ отмечены точки $M$ и $N$, так что $AM = NM = NC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AD$ в точке $P$, а прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $Q$.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника $BPDQ$ равна площади треугольника $ADC$.

б) Найдите $BD$, если известно, что $AC = 2\sqrt{5}$ и около пятиугольника $MNQDP$ можно описать окружность.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} \frac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\ x+y-a=0 \end{cases}$$ Имеет ровно два различных решения

На доске написано 24 числа: восемь «5», восемь «4» и восемь «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $A + B$.

б)Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 12 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\frac{A + B}{2}$.

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A + B}{2}$.