Дальний восток

Один из углов прямоугольного треугольника равен $86^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec a(1; 3)$ и $\vec b(-4; 2)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

Около конуса описана сфера. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $28\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Источник: Банк ФИПИ

На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения $2^{4 - 2x} = 64$

Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ км/ч$^2$. Скорость $v$ в конце пути вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в км. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость $110 \, \text{км}/\text{ч}^2$. Ответ выразите в км/ч$^2$.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно $176$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $5$ часов после этого следом за ним, со скоростью на $5$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = \frac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку максимума функции $y= x^3 -6x^2 + 9x + 5$.

а) Решите уравнение: $\sin 2x + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Источник: Банк ЕГЭ

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Решите неравенство $\frac{2^{3x} - 10\cdot2^{2x} + 17\cdot2^{x } - 8}{x} \geq 0$

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3$\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $\angle BAC = 2\angle ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = \sqrt{21}$ и $AC = 3$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$a\left(x +\frac{4}{x}\right)^2 + 2\left(x + \frac{4}{x}\right) -49a + 14 = 0$$

имеет ровно два различных корня.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $25$, меньше, чем чисел, делящихся на $29$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $25$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $25$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.