Тип 18 № 21117

Решение:

а) Пусть $\angle ABC = \alpha$. Центральный угол $COA$ и вписанный угол $CBA$ опираются на одну дугу $CA$, значит, $\angle COA = 2\alpha$. Вписанные в меньшую окружность углы $COA$ и $CPA$ также опираются на одну дугу $CA$, следовательно, $\angle COA = \angle CPA = 2\alpha$. Тогда $\angle CPA = 2\alpha$, а $\angle BAC$ также равен $2\alpha$ (по условию). Треугольники $ABC$ и $PAC$ имеют общий угол $C$ и равные углы $\angle BAC = \angle CPA$, значит, они подобны по двум углам.

б) Из подобия треугольников $ABC$ и $PAC$ следует, что $\angle PAC = \angle ABC = \alpha$. Значит, $AP$ является биссектрисой угла $A$ треугольника $ABC$. Из подобия получаем пропорцию: $$\frac{AC}{CB} = \frac{CP}{AC},$$ откуда $$CP = \frac{AC^2}{CB} = \frac{3^2}{\sqrt{21}} = \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{7}.$$ По свойству биссектрисы треугольника: $$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}.$$ Так как $PB = CB - CP = \sqrt{21} - \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{21 - 9}{\sqrt{21}} = \frac{12}{\sqrt{21}}$, то $$AB = \frac{AC \cdot PB}{CP} = \frac{3 \cdot \frac{12}{\sqrt{21}}}{\frac{9}{\sqrt{21}}} = \frac{36}{9} = 4.$$

Ответ: б) $4$.