Решение:
Сделаем замену t = x + 4 x t = x + \frac{4}{x} t = x + x 4 x + 4 x = t ⇔ x 2 − t x + 4 = 0 x + \frac{4}{x} = t \Leftrightarrow x^2 - tx + 4 = 0 x + x 4 = t ⇔ x 2 − t x + 4 = 0 x x x D = t 2 − 16 D = t^2 - 16 D = t 2 − 16
При t ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 4 ; + ∞ ) t \in (-\infty; -4) \cup (4; +\infty) t ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 4 ; + ∞ )
При t = ± 4 t = \pm 4 t = ± 4
При t ∈ ( − 4 ; 4 ) t \in (-4; 4) t ∈ ( − 4 ; 4 )
Исходное уравнение в переменной t t t a t 2 + 2 t − 49 a + 14 = 0 at^2 + 2t - 49a + 14 = 0 a t 2 + 2 t − 49 a + 14 = 0
Рассмотрим подходящие нам случаи:
Исходное уравнение линейное (a = 0 a = 0 a = 0
Исходное уравнение квадратное и имеет ровно один корень t t t x x x
Рассмотрим случаи по отдельности:
a = 0 a = 0 a = 0 2 t + 14 = 0 ⇔ t = − 7 2t + 14 = 0 \Leftrightarrow t = -7 2 t + 14 = 0 ⇔ t = − 7
Так как t = − 7 < − 4 t = -7 < -4 t = − 7 < − 4 x x x a = 0 a = 0 a = 0
a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 Найдём дискриминант квадратного уравнения:
D = 4 − 4 a ( − 49 a + 14 ) = 4 + 196 a 2 − 56 a = ( 14 a − 2 ) 2 D = 4 - 4a(-49a + 14) = 4 + 196a^2 - 56a = (14a - 2)^2 D = 4 − 4 a ( − 49 a + 14 ) = 4 + 196 a 2 − 56 a = ( 14 a − 2 ) 2
Корни уравнения:
t 1 = − 2 − ( 14 a − 2 ) 2 a = − 2 − 14 a + 2 2 a = − 14 a 2 a = − 7 t_1 = \frac{-2 - (14a - 2)}{2a} = \frac{-2 - 14a + 2}{2a} = \frac{-14a}{2a} = -7 t 1 = 2 a − 2 − ( 14 a − 2 ) = 2 a − 2 − 14 a + 2 = 2 a − 14 a = − 7 t 2 = − 2 + ( 14 a − 2 ) 2 a = − 2 + 14 a − 2 2 a = 14 a − 4 2 a = 7 − 2 a t_2 = \frac{-2 + (14a - 2)}{2a} = \frac{-2 + 14a - 2}{2a} = \frac{14a - 4}{2a} = 7 - \frac{2}{a} t 2 = 2 a − 2 + ( 14 a − 2 ) = 2 a − 2 + 14 a − 2 = 2 a 14 a − 4 = 7 − a 2
Корень t 1 = − 7 t_1 = -7 t 1 = − 7 x x x − 7 < − 4 -7 < -4 − 7 < − 4 t 2 t_2 t 2
2.1 2.1 2.1 t 2 = t 1 = − 7 t_2 = t_1 = -7 t 2 = t 1 = − 7
2.2 2.2 2.2 t 2 ∈ ( − 4 ; 4 ) t_2 \in (-4; 4) t 2 ∈ ( − 4 ; 4 ) x x x
Случай 2.1: t 2 = − 7 t_2 = -7 t 2 = − 7
7 − 2 a = − 7 ⇔ 2 a = 14 ⇔ a = 1 7 7 - \frac{2}{a} = -7 \Leftrightarrow \frac{2}{a} = 14 \Leftrightarrow a = \frac{1}{7} 7 − a 2 = − 7 ⇔ a 2 = 14 ⇔ a = 7 1
Случай 2.2: t 2 ∈ ( − 4 ; 4 ) t_2 \in (-4; 4) t 2 ∈ ( − 4 ; 4 )
− 4 < 7 − 2 a < 4 -4 < 7 - \frac{2}{a} < 4 − 4 < 7 − a 2 < 4
Решим систему неравенств:
{ 7 − 2 a > − 4 , 7 − 2 a < 4 ⇔ { 2 a < 11 , 2 a > 3 ⇔ { a < 0 или a > 2 11 , 0 < a < 2 3 \begin{cases}
7 - \dfrac{2}{a} > -4, \\[6pt]
7 - \dfrac{2}{a} < 4
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
\dfrac{2}{a} < 11, \\[6pt]
\dfrac{2}{a} > 3
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a < 0 \text{ или } a > \dfrac{2}{11}, \\[6pt]
0 < a < \dfrac{2}{3}
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 7 − a 2 > − 4 , 7 − a 2 < 4 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ a 2 < 11 , a 2 > 3 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ a < 0 или a > 11 2 , 0 < a < 3 2 a ∈ ( 2 11 ; 2 3 ) a \in \left(\frac{2}{11}; \frac{2}{3}\right) a ∈ ( 11 2 ; 3 2 )
Объединяя все подходящие значения из случаев 1, 2.1 и 2.2, получаем:
a ∈ { 1 7 ; 0 } ∪ ( 2 11 ; 2 3 ) a \in \left\{\frac{1}{7}; 0\right\} \cup \left(\frac{2}{11}; \frac{2}{3}\right) a ∈ { 7 1 ; 0 } ∪ ( 11 2 ; 3 2 )
Ответ: a ∈ { 1 7 ; 0 } ∪ ( 2 11 ; 2 3 ) a \in \left\{\frac{1}{7}; 0\right\} \cup \left(\frac{2}{11}; \frac{2}{3}\right) a ∈ { 7 1 ; 0 } ∪ ( 11 2 ; 3 2 )