Степенные уравнения и неравенства

Некоторяя компания продает свою продукцию по цене $p = 500 \, \text{руб.}$ за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v = 300 \, \text{руб.}$, постоянные расходы предприятия $f = 700\,000 \, \text{руб.}$ в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q) = q(p - v) - f$. Определите месячный объем производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $300\,000 \, \text{руб.}$

Источник: БАНК ФИПИ.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 10 \, \text{м}$. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0(1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5}(^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Источник: БАНК ФИПИ.

Автомобиль массой $m$ кг начинает тормозить и проходит до полной остановки путь $S$ м. Сила трения $F$ (в Н), масса автомобиля $m$ (в кг), время $t$ (в с) и пройденный путь $S$ (в м) связаны соотношением $F = \frac{2mS}{t^2}$. Определите, сколько секунд заняло торможение, если известно, что сила трения равна 2000 Н, масса автомобиля — 1500 кг, путь — 600 м.

Источник: БАНК ФИПИ.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $$P = \sigma ST^4,$$ где:

• $P$ — мощность излучения звезды (Вт),
• $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8}$ Вт·м$^{-2}$·К$^{-4}$ — постоянная Стефана-Больцмана,
• $S$ — площадь поверхности звезды (м$^2$),
• $T$ — температура (К).

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{18} \cdot 10^{21}$ м$^2$, мощность её излучения равна $4{,}104 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды.

Источник: БАНК ФИПИ.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $pV^k = 10^5 \, \text{Па} \cdot \text{м}^5$, где $p$ — давление газа в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = \frac{5}{3}$. Найдите, какой объём $V$ (в куб. м) будет занимать газ при давлении $p$, равном $3{,}2 \cdot 10^6 \, \text{Па}$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора получена экспериментально: $T = T_0 + bt + at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0 = 1600 \, \text{K}$, $a = -5 \, \text{K}/\text{мин}^2$, $b = 105 \, \text{K}/\text{мин}$. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1870 K прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?

Источник: БАНК ФИПИ.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H$ — высота столба воды в метрах,
• $H_0 = 3 \, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{768} \, \text{м/мин}^2$ и $b = -\frac{1}{8} \, \text{м/мин}$ — постоянные,
• $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана.

В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$, где $t$ — время в минутах, $\omega = 15^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta = 6^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг 2250°. Ответ дайте в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1{,}6 + 13t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров?

Источник: БАНК ФИПИ.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 24\, \text{м/с}$, начал торможение с постоянным ускорением $a = 3\, \text{м/с}^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \frac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Источник: ЕГЭ 2024. Основная волна.

Мотоцикл, движущийся по городу со скоростью $v_0 = 60\, \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a = 18\, \text{км/ч}^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S = v_0 t + \frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Источник: Банк ФИПИ

Зависимость объема спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задается формулой $q = 120 - 10p$. Выручка предприятия за месяц $r$ (тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p) = q \cdot p$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ составит 320 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Источник: Банк ФИПИ

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону: $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H_0 = 8\, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{98}\, \text{м/мин}^2$,
• $b = -\frac{4}{7}\, \text{м/мин}$,
• $t$ — время в минутах.

Определите, в течение какого времени вода будет вытекать из бака.

Источник: Банк ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: $T _0 + bt + at^2$, где t  — время в минутах, $T_0 = 1300\text{K}$, $a = -20$ $\text{K}/\text{мин}^2$, $b = 20$K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800$К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: Банк ФИПИ

В боковой стенке цилиндрического бака у дна закреплён кран. Высота воды изменяется по закону: $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H_0 = 3\, \text{м}$,
• $a = \frac{1}{588}\, \text{м/мин}^2$,
• $b = -\frac{1}{7}\, \text{м/мин}$.

Найдите время полного вытекания воды.

Источник: Банк ФИПИ

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону: $$H(t) = at^2 + bt + H_0$$ где:

• $H_0 = 6,25\, \text{м}$ — начальный уровень воды,
• $a = \frac{1}{81}\, \text{м/мин}^2$,
• $b = -\frac{5}{9}\, \text{м/мин}$,
• $t$ — время в минутах.

Определите, в течение какого времени вода будет вытекать из бака.

Источник: БАНК ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: $T _0 + bt + at^2$, где t  — время в минутах, $T_0 = 1450\text{K}$, $a = -30$ $\text{K}/\text{мин}^2$, $b = 180$K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600$К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: $T _0 + bt + at^2$, где t  — время в минутах, $T_0 = 1300\text{K}$, $a = -\frac{14}{3}$ $\text{K}/\text{мин}^2$, $b = 98$K/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 $К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Источник: БАНК ФИПИ

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону: $$h(t) = 2 + 12t - 5t^2$$ где:

• $h$ — высота в метрах,
• $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска.

Определите, сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 6 метров.

Источник: БАНК ФИПИ

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:

$$T(t)=T_0+bt+at^2,$$ где $t$ — время (в мин.), $T_0=680$ К, $a=-16$ К/мин$^2$, $b=224$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону

$$\varphi=\omega t+\frac{\beta t^2}{2},$$ где $t$ — время в минутах, $\omega=40^\circ/\text{мин}$ — начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta=4^\circ/\text{мин}^2$ — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки $\varphi$ достигнет $3000^\circ$. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют υ = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 600 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле g(q) = q(p − υ) − f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 900 000 руб.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=57\ \text{км/ч}$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=12\ \text{км/ч}^2$. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $S=v_0t+\frac{at^2}{2}$, где $t$ — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в $30\ \text{км}$ от города. Ответьте в минутах.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p  =  600 руб. за единицу, переменные текущие затраты на производство одной единицы продукции составляют ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия f  =  600 000 руб. в месяц. Месячная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)  =  q(p − ν) − f, где q (единиц продукции)  — месячный объём производства. Определите значение q, при котором месячная прибыль предприятия будет равна 500 000 руб.