Урал

а) Решите уравнение: $\log_3\left(\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin 2x + 81\right) = 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$

Дан тетраэдр ABCD, на ребрах AC, AD, BD, BC отмечены точки K, L, M, N соответственно так, что $AK:KC = 3:7$, а KLMN — квадрат со стороной 3.

а) Доказать, что $BM:MD=3:7$.

б) Найти расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$, если известно, что объём тетраэдра $ABCD$ равен $50$.

Решите неравенство: $\frac{9^x - 3^{x + 1} - 19}{3^x - 6} + \frac{9^{x + 1} - 3^{x + 4} + 2}{3^x - 9} \leq 10\cdot3^x + 3$

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.

Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна 375,000 рублей.

Точка $B$ лежит на отрезке $AC$. Прямая, проходящая через точку $A$, касается окружности с диаметром $BC$ в точке $M$ и второй раз пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $K$. Продолжение отрезка $MB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $D$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $MC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $DBC$, если $AK = 7$ и $MK = 14$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{3x - 5}\cdot\ln(4x^2 - a^2) = \sqrt{3x - 5}\cdot\ln(2x + a)$$ имеет ровно один корень.

Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным.

а) Могло ли из числа 65 получиться число 41?

б) Могло ли из числа 65 получиться число 43?

в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из 65?