Тип 14 № 20765

Решение: Преобразуем подлогарифмическое выражение, используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$:

$$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin 2x + 81 = \sqrt{2}\sin x + 2\sin x\cos x + 81.$$

Так как $\log_3 A = 4 \Leftrightarrow A = 3^4 = 81$, получаем:

$$\sqrt{2}\sin x + 2\sin x\cos x + 81 = 81.$$

$$\sqrt{2}\sin x + 2\sin x\cos x = 0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x(\sqrt{2} + 2\cos x) = 0.$$

Отсюда:

$$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решим каждое уравнение:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, общее решение:

$$x = \pi k, \quad x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$:

Для $x = \pi k$:

$$k = 1 \Rightarrow x = \pi \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right],$$ $$k = 2 \Rightarrow x = 2\pi \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right],$$ $$k = 3 \Rightarrow x = 3\pi \notin \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right].$$

Для $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$$k = 1 \Rightarrow x = \frac{11\pi}{4} = 2{,}75\pi > \frac{5\pi}{2} = 2{,}5\pi,$$ не подходит. При $k=0$ получаем $\frac{3\pi}{4} < \pi$, не подходит.

Для $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$:

$$k = 1 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right],$$ $$k = 2 \Rightarrow x = \frac{13\pi}{4} > \frac{5\pi}{2}, \text{ не подходит}.$$

Итак, корни, принадлежащие отрезку:

$$\pi; \quad \frac{5\pi}{4}; \quad 2\pi.$$

Ответ: а) $\pi k; \ \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$ б) $\pi; \ \frac{5\pi}{4}; \ 2\pi$.