Тип 16 № 20767

Решение:

Сделаем замену $3^x = t > 0$, $t \neq 6$, $t \neq 9$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} + \frac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9} \leq 10t + 3$$

Выделим целые части: $$\frac{t^2 - 3t - 19}{t - 6} = t + 3 + \frac{-1}{t - 6}$$ $$\frac{9t^2 - 81t + 2}{t - 9} = 9t + \frac{2}{t - 9}$$

Подставим обратно в неравенство: $$t + 3 - \frac{1}{t - 6} + 9t + \frac{2}{t - 9} \leq 10t + 3$$ $$10t + 3 - \frac{1}{t - 6} + \frac{2}{t - 9} \leq 10t + 3$$

Перенесём все слагаемые в левую часть: $$- \frac{1}{t - 6} + \frac{2}{t - 9} \leq 0$$ $$\frac{- (t - 9) + 2(t - 6)}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{-t + 9 + 2t - 12}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$ $$\frac{t - 3}{(t - 6)(t - 9)} \leq 0$$

Решение неравенства: $$t \in (-\infty; 3] \cup (6; 9)$$

Учитывая, что $t = 3^x > 0$, получаем: $$\left[\begin{aligned} &0 < t \leq 3 \\ &6 < t < 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &3^x \leq 3 \\ &6 < 3^x < 9 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x \leq 1 \\ &\log_3 6 < x < 2 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup (\log_3 6; 2)$