Санкт-Петербург

а) Решите уравнение:

$$7^{2\cos x}=49^{\sin 2x}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right].$$

В правильном тетраэдре $ABCD$ все рёбра равны 10. На рёбрах $AB$ и $AD$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно так, что

$$AM=AK=4.$$

а) Докажите, что плоскость $CMK$ делит тетраэдр $ABCD$ на два многогранника, объёмы которых относятся как $21:4$. б) Найдите косинус угла между плоскостью $CBD$ и плоскостью $CMK$.

Решите неравенство: $2\log_7(x\sqrt{2}) - \log_7\frac{x}{1 - x} \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right)$

В июле 2028 года планируется взять в банке кредит на четыре года в размере 8000 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на (4%) по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

• в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на (25%) меньше долга на июль предыдущего года;

• к июлю 2032 года долг должен быть полностью погашен.

Сколько тыс. руб. составит сумма всех платежей после полного погашения кредита?

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK$, если

$$AB=13,\qquad AC=24.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{|4x| - x - 3- a}{x^2 - x - a} = 0$$ имеет ровно два раличных решения.

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 4 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 3 и увеличивают цифру в разряде единиц на 5. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 79 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 42, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше 2026?